Молекулярная физика > Второе начало термодинамики > Задача 5.9.8

Условие

$5.9.8.$ Сосуд объема $V$ разделен на две одинаковые части, в которых находятся разные газы, двумя перегородками. Перегородки проницаемы только для «своего» газа из той части сосуда, которую каждая из них изначально отделяет. Под действием газов перегородки движутся до стенок сосуда. Найдите приращение энтропии при этом движении, если первоначальное давление газов $P$, а температура $T$. Почему такой процесс невозможен, если газы с обеих сторон одинаковы или невозможно экспериментальным путем отличить один газ от другого (например, в прошлом веке невозможно было различить изотопы)?

Решение

Из уравнение Менделеева-Клапейрона для каждого газа в начальном состоянии найдём число молей газов:

$$\nu_{1}=\frac{PV_{1}}{RT},\quad \nu_{2}=\frac{PV_{2}}{RT}$$

Поскольку $V_{1}=V_{2}=\frac{V}{2}$, то получим:

$$\nu_{1}=\nu_{2}=\nu=\frac{PV}{2RT}$$

По условию задачи, каждая перегородка проницаема только для «своего» газа. Это означает, что перегородки действуют как полупроницаемые мембраны. Газ 1 свободно проходит сквозь перегородку газа 2, но толкает свою перегородку до противоположной стенки. В результате расширения каждый газ независимо занимает весь объем сосуда $V$, совершая работу.

Поскольку процесс изотермический, изменение энтропии идеального газа:

$$\Delta S_{1}=\int_{1\to 2}\frac{\delta Q}{T}=\int_{1\to 2}\frac{dU+dA}{T}=\int_{1\to 2}\frac{PdV}{T}=\nu_{1}R\int_{V_{н}}^{V_{к}}\frac{dV}{V}=\nu_{1}R\ln\left( \frac{V_{к}}{V_{н}} \right)$$

Подставим изменение объёма:

$$\Delta S_{1}=\nu_{1}R\ln\left( \frac{V}{\frac{V}{2}} \right)=\nu R\ln2$$

Так как оба газа расширяются одинаково, суммарное приращение энтропии системы складывается из изменений энтропии обоих газов:

$$\Delta S=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}=2\nu R\ln2$$

Подставим выражение для $\nu$:

$$\Delta S=2\cdot\frac{PV}{2RT}\cdot R\ln2=\frac{PV}{T}\cdot\ln2$$

Такой процесс физически невозможен для одинаковых или неотличимых газов, поскольку невозможно создать мембрану, селективно пропускающую только часть макроскопически тождественных молекул, а смешение одинаковых газов не увеличивает энтропию системы.

Ответ

$$\Delta S=\frac{PV}{T}\cdot\ln2$$