Движение заряженных частиц в электрическом поле > Движение в постоянном электрическом поле > Задача 7.1.26

Условие

$7.1.26.$ Электрон, ускоренный разностью потенциалов $V_{0}$, пролетает между пластинами плоского конденсатора и затем попадает на экран. Расстояние между пластинами $d$ много меньше длины пластин $l$, а расстояние между конденсатором и экраном $L$ много больше $l$. При разности потенциалов на пластинах конденсатора $V\ll V_{0}$ отклонение электрона $x$ на экране пропорционально произведению $LV$ и обратно пропорционально $V_{0}$: $x\approx k\cdot\frac{VL}{V_{0}}$. Определите коэффициент $k$.

Решение

Согласно закону сохранения энергии:

$$eV_{0}=\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2} \Longrightarrow \upsilon_{0}^{2}=\frac{2eV_{0}}{m} \tag{1}$$

Внутри конденсатора на электрон действует электрическое поле $E=\frac{V}{d}$, создающее ускорение $a$ в вертикальном направлении:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{eE}{m}=\frac{eV}{md}$$

Поскольку по горизонтальной оси на электрон не действуют никакие силы, то его движение вдоль этой оси равномерное. Время пролета внутри пластин:

$$t_{1}=\frac{l}{\upsilon_{0}}$$

За это время электрон отклониться по вертикали на расстояние $y_{1}$ и приобретет вертикальную составляющую скорости $\upsilon_{y}$:

$$y_{1}=\frac{at_{1}^{2}}{2}=\frac{eV}{2md} \cdot\frac{l^{2}}{\upsilon_{0}^{2}}$$
$$v_{y}=at_{1}=\frac{eVl}{md\upsilon_{0}}$$

При вылете из конденсатора электрон движется прямолинейно под углом $\theta$:

$$\tan\theta=\frac{\upsilon_{y}}{\upsilon_{0}}$$

Смещение $x$ на экране имеет две компоненты - смещение внутри конденсатора и смещение вне конденсатора:

$$x=y_{1}+L\cdot\tan\theta=y_{1}+L\cdot\frac{\upsilon_{y}}{\upsilon_{0}}$$

Подставим $y_{1}$ и $\upsilon_{y}$:

$$x=\frac{eVl^{2}}{2md\upsilon_{0}^{2}}+\frac{eVlL}{md\upsilon_{0}^{2}}=\frac{eVl}{md\upsilon_{0}^{2}} \left( \frac{l}{2} + L \right)$$

Поскольку $L\gg l$, тогда:

$$x\approx \frac{eVlL}{md\upsilon_{0}^{2}}$$

Подставим $\upsilon_{0}^{2}$ из (1):

$$x=\frac{eVlL}{md \left( \frac{2eV_{0}}{m} \right)}=\frac{l}{2d}\cdot\frac{VL}{V_{0}}$$

Сравнивая с исходной формулой $x=k\frac{VL}{V_{0}}$, получаем значение искомого коэффициента:

$$k=\frac{l}{2d}$$

Ответ

$$k=\frac{l}{2d}$$