Движение заряженных частиц в электрическом поле > Фокусировка заряженных частиц > Задача 7.2.7

Условие

$7.2.7.$ Параллельный пучок протонов, ускоренных разностью потенциалов $V_{0}$, летит вдоль оси двух круглых небольших соосных отверстий в обкладках конденсатора. На каком расстоянии от второй обкладки сфокусируется этот пучок, если потенциал второй обкладки равен $V$ ? Первая обкладка заземлена. Расстояние между обкладками $d$.

Решение

Перед прочтением решения данной задачи, я рекомендую ознакомиться с решением задачи $7.2.6.$, поскольку я буду использовать результат той задачи при решении.

В решении я предполагаю параксиальное приближение - протоны распространяются под очень малыми углами к оси симметрии системы.

Отверстие в обкладке конденсатора, разделяющее области с разной напряженностью поля $E_{1}$ и $E_{2}$, действует как электростатическая линза. Фокусное расстояние такой линзы найдено в задаче $7.2.6.$:

$$f=\frac{4U}{E_{2}-E_{1}}$$

где $U$ - потенциал эквивалентный кинетической энергии протона при приближении к отверстию; $E_{1}$ - напряжённость поля до отверстия; $E_{2}$ - напряжённость поля после отверстия.

У нас два отверстия, а значит две линзы. Вне конденсатора поле отсутствует, внутри конденсатора $E=\frac{V}{d}$. Кинетическая энергия протонов при приближении к первому отверстию определяется ускоряющей разностью потенциалов $V_{0}$. Тогда фокусное расстояние первой линзы (отверстия):

$$f_{1}=\frac{4V_{0}}{\frac{V}{d}-0}=\frac{4dV_{0}}{V} \tag{1}$$

Поскольку $f_{1}\gt 0$ - это собирающая линза, то есть она "прижимает" пучок протонов к оси, радиус пучка уменьшается.

Для второй линзы (отверстия) кинетическая энергия протонов будет определяться разностью потенциалов $V_{0}+V$, так как протоны ускоряются полем внутри конденсатора. Тогда фокусное расстояние второй линзы (отверстия):

$$f_{2}=\frac{4(V_{0}+V)}{0-\frac{V}{d}}=-\frac{4d(V_{0}+V)}{V} \tag{2}$$

Поскольку $f_{2}\lt 0$ - это рассеивающая линза, то есть она увеличивает радиус пучка протонов.

Так как у нас первой стоит собирающая линза, то фокусировка пучка возможна в двух разных областях системы. Первый - внутри конденсатора, то есть на расстоянии $L\lt d$ от первой обкладки. Второй - вне конденсатора. Отмечу сразу, что пучок сфокусируется обязательно, поскольку оптическая сила первой линзы больше, чем второй:

$$\left| \frac{1}{f_{1}} \right|\gt \left| \frac{1}{f_{2}} \right|$$

Рассмотрим первый $\textbf{случай фокусировки внутри конденсатора}$.

Пусть $r_{0}$ - начальный радиус пучка. Протон, проходя через область неоднородного поля вблизи отверстия, получает радиальный импульс. Обозначим приобретаемую радиальную скорость протона $\upsilon_{r0}$. Так как ширина отверстия очень мала, то изменения в ней скорости протонов вдоль оси симметрии при прохождении отверстия нет. Эта скорость равна:

$$\upsilon_{x0}=\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}} \tag{3}$$

С одной стороны тангенс угла отклонения пучка равен:

$$\tan\alpha=\frac{\upsilon_{r0}}{\upsilon_{x0}}$$

А с другой стороны, по определению:

$$\tan\alpha=\frac{r_{0}}{f_{1}}$$

Тогда:

$$\upsilon_{r0}=\upsilon_{x0}\cdot\frac{r_{0}}{f_{1}} \tag{4}$$

Внутри конденсатора поле действует только вдоль оси симметрии, поэтому радиальная скорость сохраняется $\upsilon_{r}=\upsilon_{r0}=const$.

Зависимость радиуса пучка от времени будет:

$$r(t)=r_{0}-\upsilon_{r0}t=r_{0}\left( 1-\frac{\upsilon_{x0}}{f_{1}}t \right)$$

Время $\tau$, когда радиус пучка станет равен 0:

$$r(\tau)=0=r_{0}\left( 1-\frac{\upsilon_{x0}}{f_{1}}\tau \right)\Longrightarrow \tau=\frac{f_{1}}{\upsilon_{x0}}$$

Подставим значения из (1) и (3):

$$\tau=\frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}} \tag{5}$$

Вдоль оси симметрии на протоны действует электрическое поле с силой:

$$F=eE=\frac{eV}{d}$$

Под действием этой силы протоны получают ускорение:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{eV}{md} \tag{6}$$

Координата $x(t)$ при равноускоренном движении:

$$x(t)=\upsilon_{x0}t+\frac{at^{2}}{2}$$

Протоны сфокусируются на расстоянии $L=x(\tau)$:

$$L=\upsilon_{x0}\tau+\frac{a\tau^{2}}{2}$$

Подставим сюда формулы (3), (5) и (6):

$$L=\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}}\frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}}+\frac{1}{2}\frac{eV}{md}\left( \frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}} \right)^{2}=\frac{8dV_{0}}{V}$$

Поскольку $L\lt d$, то должно быть: $V\gt 8V_{0}$.

При $V=8V_{0}$ пучок сфокусируется прямо во втором отверстии: $L=d$.

Теперь рассмотри второй случай $\textbf{фокусировка вне пластин (учёт обоих отверстий)}$.

Согласно закону сохранения энергии работа поля идёт на приращение кинетической энергии протонов, тогда скорость протонов вдоль оси симметрии, которая будет при достижении ими второго отверстия:

$$\upsilon_{xd}=\sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}} \tag{7}$$

Время полёта протонов от первой обкладки до второй:

$$t_{п}=\frac{\upsilon_{xd}-\upsilon_{x0}}{a}$$

Подставим сюда (3), (6) и (7):

$$t_{п}=\frac{md}{eV}\left( \sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}}-\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}} \right) \tag{8}$$

Радиус пучка протонов перед прохождением второго отверстия:

$$r_{d}=r_{0}-\upsilon_{r0}t_{п}=r_{0}\left( 1-\frac{\upsilon_{x0}}{f_{1}}t_{п} \right)$$

Подставим сюда (1), (3) и (8):

$$r_{d}=r_{0}\left[ 1-\frac{V}{4dV_{0}}\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}}\frac{md}{eV}\left( \sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}}-\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}} \right) \right]$$

Все алгебраические преобразования я покажу в виде фотографии черновика, когда решал эту задачу. Сейчас запишу только результат преобразований:

$$r_{d}=\frac{r_{0}}{2}\left( 3-\sqrt{1+\frac{V}{V_{0}}} \right) \tag{9}$$

Проходя сквозь второе отверстие, протоны в радиальном направлении получают дополнительную скорость. По аналогии с формулой (4):

$$\upsilon_{r2}=\upsilon_{xd}\frac{r_{d}}{f_{2}}$$

Подставим сюда (7), (2) и (9):

$$\upsilon_{r2}=\sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}}\frac{V}{4d(V_{0}+V)}\frac{r_{0}}{2}\left( \sqrt{1+\frac{V}{V_{0}}} -3\right)$$

Результирующая радиальная скорость после пролёта второй линзы:

$$\upsilon_{r}=\upsilon_{r0}+\upsilon_{r2}=\upsilon_{x0}\frac{r_{0}}{f_{1}}+\upsilon_{r2}$$

После подстановки ранее найденных значений, получим:

$$\upsilon_{r}=\sqrt{\frac{2e}{m}}\frac{r_{0}}{4d}\left[ \frac{V}{\sqrt{V_{0}}}+\frac{V}{2\sqrt{V_{0}+V}}\left( \sqrt{1+\frac{V}{V_{0}}}-3 \right) \right]$$

После пролёта второго отверстия протоны двигаются по инерции. По аналогии с формулой (4):

$$\frac{\upsilon_{r}}{\upsilon_{xd}}=\frac{r_{d}}{L}\Longrightarrow L=r_{d}\frac{\upsilon_{xd}}{\upsilon_{r}}$$

После подстановки всех формул и алгебраических преобразований получим:

$$L=\frac{4}{3}d\left( 1+\frac{V_{0}}{V} \right)\left( 2\frac{V_{0}}{V}+2\sqrt{\frac{V_{0}}{V}\left( \frac{V_{0}}{V}+1 \right)}-1 \right)$$

Фотографии с черновика с алгебраическими приобразованиями:

Ответ

$$L=\frac{4}{3}d\left( 1+\frac{V_{0}}{V} \right)\left( 2\frac{V_{0}}{V}+2\sqrt{\frac{V_{0}}{V}\left( \frac{V_{0}}{V}+1 \right)}-1 \right)$$

при $$V\lt 8V_{0}$$

и на расстоянии $$L=\frac{8dV_{0}}{V}$$

от первой обкладки при $$V\gt 8V_{0}$$

При $V=8V_{0}$

$$L=d$$

от первой обкладки.