Движение заряженных частиц в электрическом поле > Взаимодействие заряженных частиц > Задача 7.4.32

Условие

$7.4.32.$ Между двумя заземленными параллельными горизонтальными металлическими плоскостями на одинаковом расстоянии $h$ от них находится заряженная тонкая пластинка. Площадь пластины $S$, ее масса $m$, поверхностная плотность заряда $σ$. Какую минимальную скорость нужно сообщить этой пластине, чтобы она долетела до верхней плоскости? Расстояние до плоскостей $h$ много меньше линейных размеров пластины.

Решение

Нашу систему можна рассматривать как два параллельных конденсатора, образованных центральной пластиной и двумя заземленными плоскостями. Допустим сместим пластину на расстояние $x$ от первоначального положения вверх, тогда ёмкости конденсаторов будут:

$$C_{1}(x)=\frac{\varepsilon_{0}S}{h-x}$$
$$C_{2}(x)=\frac{\varepsilon_{0}S}{h+x}$$

При параллельном соединении общая ёмкость системы:

$$C(x)=C_{1}(x)+C_{2}(x)=\frac{\varepsilon_{0}S}{h-x}+\frac{\varepsilon_{0}S}{h+x}=\frac{2\varepsilon_{0}Sh}{h^{2}-x^{2}}$$

Полная потенциальная энергия системы состоит из электрической и гравитационной частей. Гравитационная энергия (нулевой уровень выбираю от первоначального положения пластины):

$$U_{g}(x)=mgx$$

Электрическая энергия:

$$U_{e}(x)=\frac{q^{2}}{2C(x)}=\frac{\sigma^{2}S^{2}(h^{2}-x^{2})}{4\varepsilon_{0}Sh}=\frac{\sigma^{2}S(h^{2}-x^{2})}{4\varepsilon_{0}h}$$

Полная функция потенциальной энергии:

$$U(x)=mgx+\frac{\sigma^{2}S(h^{2}-x^{2})}{4\varepsilon_{0}h} \tag{1}$$

Итак, это парабола с ветками опущенными вниз, то есть это потенциальный барьер. Чтобы найти точку, в которой силы уравновешиваются (максимум потенциального барьера), возьмем производную:

$$\frac{dU}{dx}=mg-\frac{\sigma^{2}S\cdot 2x}{4\varepsilon_{0}h}=0\Longrightarrow x_{0}=\frac{2\varepsilon_{0}mgh}{\sigma^{2}S} \tag{2}$$

Убедимся, что это максимум, для этого возьмем вторую производную:

$$\frac{d^{2}U}{dx^{2}}=-\frac{\sigma^{2}S}{2\varepsilon_{0}h}\lt 0$$

Это действительно максимум.

В зависимости от того, где находится точка $x_{0}$ относительно верхней плоскости $h$, возможны два случая.

$\textbf{1. }$ При $mg\gt \frac{S\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}$ в этом случае $x_{0}\gt h$, то есть сила тяжести всегда больше электрической силы на всем пути. Чтобы пластина коснулась верхней плоскости, ей нужно сообщить энергию, достаточную для достижения точки $x=h$.

Из закона сохранения энергии:

$$\frac{m\upsilon^{2}}{2}=U(h)-U(0)$$

Используя (1), получим:

$$\frac{m\upsilon^{2}}{2}=mgh-\frac{\sigma^{2}Sh}{4\varepsilon_{0}}$$

Отсюда:

$$\boxed{\upsilon=\sqrt{2gh\left( 1-\frac{S\sigma^{2}}{4\varepsilon_{0}mg} \right)}}$$

$\textbf{2. }$ При $mg\lt \frac{S\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}$ в этом случае точка равновесия $x_{0}$ находится внутри зазора $x_{0}\lt h$. Как только пластина долетит до $x_{0}$, электрическое притяжение станет сильнее гравитации и само «дотянет» пластину до верха. Минимальная скорость должна быть такой, чтобы пластина достигла именно этой точки $x_{0}$.

Из закона сохранения энергии:

$$\frac{m\upsilon^{2}}{2}=U(x_{0})-U(0)$$

Используя (1), получим:

$$\frac{m\upsilon^{2}}{2}=mgx_{0}+\frac{\sigma^{2}S(h^{2}-x_{0}^{2})}{4\varepsilon_{0}h}-\frac{\sigma^{2}Sh^{2}}{4\varepsilon_{0}h}=mgx_{0}-\frac{\sigma^{2}Sx_{0}^{2}}{4\varepsilon_{0}h}$$

Подставим $x_{0}$ из (2):

$$\frac{m\upsilon^{2}}{2}=mg\frac{2\varepsilon_{0}mgh}{\sigma^{2}S}-\frac{\sigma^{2}S}{4\varepsilon_{0}h}\left( \frac{2\varepsilon_{0}mgh}{\sigma^{2}S} \right)^{2}=\frac{\varepsilon_{0}m^{2}g^{2}h}{\sigma^{2}S}$$

Окончательно:

$$\boxed{\upsilon=\sqrt{\frac{2\varepsilon_{0}mg^{2}h}{\sigma^{2}S}}}$$

Ответ

$$\upsilon=\sqrt{2gh\left( 1-\frac{S\sigma^{2}}{4\varepsilon_{0}mg} \right)}$$

при $mg\gt \frac{S\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2\varepsilon_{0}mg^{2}h}{\sigma^{2}S}}$$

при $mg\lt \frac{S\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}$