Электрический ток > Проводимость. Сопротивление. Источники ЭДС > Задача 8.2.34

Условие

$8.2.34.$ Противо-ЭДС одной электролитической ванны $\mathscr{E}$. Имеется конденсатор, заряженный до напряжения $V\gg \mathscr{E}$. Сколько одинаковых ванн нужно соединить последовательно, чтобы, разрядив конденсатор, выделить на них максимальную массу металла из раствора соли?

Решение

Согласно закону Фарадея для электролиза в одной ванне при прохождении заряда $\Delta q$ в ней выделится металла:

$$m=\chi\Delta q$$

где $\chi$ - электрохимический эквивалент.

Если $k$ одинаковых ванн соединены последовательно, то через каждую из них проходит один и тот же заряд $\Delta q$. Тогда суммарная масса металла во всех ваннах будет:

$$M=km=k\chi\Delta q \tag{1}$$

Ток в цепи прекратится, когда напряжение на конденсаторе сравняется с суммарной противо-ЭДС всех ванн: $k\mathscr{E}$. Следовательно, заряд, который успеет пройти через цепь, равен разности начального и конечного зарядов конденсатора:

$$\Delta q=q_{нач}-q_{кон}=CV-C\cdot k\mathscr{E}=C(V-k\mathscr{E}) \tag{2}$$

Отмечу, что при $k\mathscr{E}\ge V$ заряд не потечет и $M=0$.

Подставим (2) в (1):

$$M=k\chi C(V-k\mathscr{E})=\chi C(kV-k^{2}\mathscr{E})$$

Мы получили функцию массы от количества ванн $k$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Чтобы найти максимум, возьмем производную по $k$ и приравняем её к нулю:

$$\frac{dM}{dk}=\chi C(V-2k\mathscr{E})=0\Longrightarrow k=\frac{V}{2\mathscr{E}}$$

Ответ

$$k=\frac{V}{2\mathscr{E}}$$