Цепная реакция или радиоактивный распад. Что показало изучение 3 294 правок на savchenkosolutions.com за 18 месяцев

Математический анализ активности сообщества. Сборник задач Савченко О. Я. как цепной реактор.

Вопрос emixter в чате ALL

Сегодня в общем чате платформы Eugene Dubrovin (emixter) задал вопрос, на который у меня не было готового ответа.

Как вы думаете, появление решений на платформе это независимый процесс? Когда появление решения не влияет на появление последующего решения. Как аналог в физике, радиоактивный распад. Или появление решения повышает вероятность появления последующего решения, увеличивая мотивацию участников? Как аналог в физике, цепная реакция.

Вопрос красивый. Две физические модели, два сценария, нужно выбрать один. Я долго размышлял, что ответить, и понял, что отвечать нужно не словами, а данными. Логи базы данных платформы хранят каждое касание задачи каждым участником за все восемнадцать месяцев существования сайта. Если процесс действительно похож на распад нестабильного ядра, статистика покажет это сразу. Если на цепную реакцию, тоже.

Этот пост содержит ответ. Он сложнее, чем "да" или "нет". Он точнее, чем "и то и другое". Десять рисунков ниже показывают, что происходит на платформе. В заключении я объясняю, как каждый из нас может использовать это знание, чтобы сделать savchenkosolutions.com сильнейшей в мире коллекцией решений к задачнику О. Я. Савченко.

Что мы знаем заранее

Платформа собирает решения к 2 023 задачам из сборника Савченко. Запущена в ноябре 2024 года. К моменту анализа (19 мая 2026 года) на сайте 1 575 уникальных пар (задача, язык) с хотя бы одной видимой правкой. Это 78% от общего числа задач в книге.

Семьдесят один человек из восемнадцати стран сделал в общей сложности 3 294 содержательные правки. Я проанализировал все события из логов платформы, включая правки, комментарии, лайки, посты на форуме и записи активности. Анонимные правки и события, помеченные в базе как невидимые, в анализ не вошли.

Прежде чем переходить к статистике, посмотрите на хронограмму активности.

Видны три фазы. В декабре 2024 года я в одиночку запустил платформу, накопив 932 правки за месяц. С весны 2025 года подключаются emixter, Picksell Prod, Ismail, jzmicer, igor. К 2026 году я почти не редактирую, а сообщество держит платформу самостоятельно.

Это начало истории. Теперь о вопросе.

Первая проверка. Бурсты в межсобытийных интервалах

Если правки следуют пуассоновскому процессу с постоянной интенсивностью $\lambda$, то время между соседними событиями $\tau$ распределено экспоненциально с плотностью $p(\tau) = \lambda e^{-\lambda \tau}$. Среднее равно стандартному отклонению, а медиана составляет $(\ln 2)/\lambda \approx 0.69$ от среднего.

В наших данных среднее межсобытийного интервала составляет 144.67 минут, а медиана 1.04 минуты. Медиана в 140 раз меньше среднего. Это не пуассон. Это бурстовая активность с длинными хвостами.

Формальный диагностический параметр, это коэффициент Гоха и Барабаши, который рассчитывается через стандартное отклонение и среднее межсобытийных интервалов

$$
B = \frac{\sigma_\tau - \mu_\tau}{\sigma_\tau + \mu_\tau} \tag{1}
$$

При $B=0$ процесс пуассоновский. При $B=1$ предельно бурстовый. Наши данные дают $B = 0.574$. Это сильная бурстовость. Параметр памяти $M$, который измеряет корреляцию между соседними интервалами, равен $0.165$, что означает заметную, но не доминирующую кластеризацию.

Похоже, цепная реакция найдена? Не торопитесь. Бурстовость возникает по двум причинам. Первая, события действительно влияют друг на друга. Вторая, один пользователь делает несколько правок подряд в рамках одной сессии, и эти правки технически "соседние", но никакой цепной реакции между ними нет. Это просто работа одного человека над одной задачей в течение получаса.

Чтобы отличить настоящую цепную реакцию от внутрисессионной кластеризации, нужно сначала сжать каждую сессию в одно событие.

Сессионизация. Что считать настоящим событием

Я определил сессию как последовательность правок одного пользователя с разрывами не более 30 минут между соседними правками. Если разрыв превышает 30 минут, считается, что сессия закончилась и началась новая. После такой сжатой переработки 3 294 правки превращаются в 1 223 сессии. Среднее число правок в сессии равно 2.7, медиана 2.

Теперь повторим тест на бурстовость, но уже для сессий. Используем коэффициент Фано

$$
F(\Delta t) = \frac{\mathrm{Var}[N(\Delta t)]}{\mathbb{E}[N(\Delta t)]} \tag{2}
$$

где $N(\Delta t)$ есть число событий в окне длительности $\Delta t$. Для пуассоновского процесса $F = 1$ на всех временных масштабах.

Результаты прямых правок и сессий совершенно разные.

На часовом масштабе сессии становятся фактически пуассоновским потоком. То есть после удаления внутрисессионной кластеризации основной источник бурстовости исчезает. Недельный масштаб всё ещё сильно сверхдисперсный, но это объясняется циклами рабочей недели и каникул, а не цепной реакцией.

Промежуточный вывод. Большая часть "бурстовости" платформы, это работа одного человека над одной задачей, а не возбуждение между разными пользователями.

Тест на возбуждение между пользователями

Это ключевая проверка. Если процесс действительно цепной, то сразу после сессии одного пользователя должна повышаться вероятность того, что начнётся сессия другого пользователя. Если процесс независимый (распад), то старт следующей сессии не зависит от того, когда закончилась предыдущая.

Я измерил отношение наблюдаемой скорости появления чужих сессий в коротком окне после каждой сессии к долгосрочной средней скорости. Это локальная мера возбуждения

$$
R(\Delta t) = \frac{N_\mathrm{other}(t, t + \Delta t) / \Delta t}{\bar{\lambda}_\mathrm{other}} \tag{3}
$$

Если $R > 1$, сообщество отвечает быстрее обычного. Если $R \approx 1$, события независимы. Если $R < 1$, между пользователями скорее наблюдается охлаждение.

Возбуждения между пользователями нет. Отношение в часовом окне статистически неотличимо от единицы, особенно если исключить меня (основателя) из выборки. Это удивительно. На глобальном уровне процесс выглядит как независимые пуассоновские потоки от каждого участника, без межпользовательской цепной реакции. Радиоактивный распад побеждает.

Можно было бы закрыть исследование здесь. Но это слишком крупный масштаб. А если возбуждение существует не между пользователями вообще, а только когда они работают над одной и той же задачей?

Локальная цепная реакция на одной задаче

Перейдём от глобального теста к локальному. Считаем каскад случившимся, если две правки от разных пользователей произошли на одной паре (задача, язык) в течение 24 часов.

В среднем правок 3 294, и каждая попадает в одну из 1 575 пар. Если процесс случайный и пары равновероятны (с точностью до распределения активности), то вероятность того, что следующая правка после данной попадёт на ту же задачу, очень мала. Точная оценка такой "случайной" доли определяется через индекс Херфиндаля для распределения правок по парам

$$
\mathrm{HHI} = \sum_{p} \pi_p^2 \tag{4}
$$

где $\pi_p$ есть доля всех правок на паре $p$. Для наших данных $\mathrm{HHI} = 0.001248$. То есть случайно следующая правка попадёт на ту же задачу примерно с вероятностью 0.125%.

Наблюдаемая доля же составляет 12.2% (854 случая из 2 509 пар "событие плюс следующее событие другого пользователя в окне 24 часа"). Это даёт кратность ускорения

$$
\mathrm{lift} = \frac{P_\mathrm{наблюдаемая}}{\mathrm{HHI}} \approx \mathbf{98\times} \tag{5}
$$

Девяносто восемь раз выше случайного уровня. Это уже не похоже на распад. Это очень похоже на цепную реакцию, но только в окрестности одной конкретной задачи.

Однако подвох в том, что эта цепная реакция может оказаться "ненастоящей". А именно, она может быть полностью обусловлена тем, что я (основатель) систематически захожу на платформу через несколько часов после того, как кто-то новый написал решение, и редактирую его. Тогда каскад не цепная реакция между пользователями, а просто моя курраторская работа.

Чтобы это проверить, повторим тест без меня.

Кратность падает с 98 до 10.6, когда меня убираем из выборки. Девяносто процентов видимой цепной реакции на самом деле моя редакторская работа. Но оставшийся фактор 10.6, это настоящая, чистая, межсообщественная цепная реакция. Не сто раз, но десять. Значимо.

Сводка всех каскадных тестов на одном рисунке.

Кто запускает каскады. Граф взаимодействий

Если цепная реакция концентрируется на конкретных задачах, кто её инициирует и кто отвечает? Я построил направленный граф каскадов. Вершины, это пользователи. Ребро от $A$ к $B$ означает, что после правки $A$ на задаче $P$ в течение недели $B$ сделал свою правку на той же задаче. Толщина ребра пропорциональна числу таких событий.

Главный паттерн виден сразу. Все стрелки сходятся в astrosander. Я почти не запускаю каскады, я их завершаю. Семьдесят четыре раза за восемнадцать месяцев emixter написал решение, после чего я отредактировал ту же задачу в течение недели. Двадцать шесть раз с Picksell Prod. Двадцать два раза с Ismail и Valentao. Тринадцать раз с igor.

Я был курратором, а не локомотивом. Каскад существовал, потому что я систематически рецензировал чужую работу.

Но не вся цепная реакция замыкается на меня. Внизу справа графа виден ход от igor к emixter, восемнадцать каскадов. И jzmicer тянется к igor, четыре каскада. Это новое поколение начинает работать друг с другом, не через меня. Это и есть тот самый межсообщественный сигнал в 10.6 раза.

Каждый работает в своё время

Каскады работают на платформе именно потому, что разные люди заходят в разное время. Если бы все работали одновременно, мы бы натыкались друг на друга. А если все работают в свои часы, то цепочка "правка - правка - правка" может растягиваться по времени и охватывать день целиком.

Часовые пики у топ контрибьюторов почти не пересекаются. Я работаю преимущественно с полуночи до пяти утра UTC, что соответствует трём-восьми часам утра по Минску. igor работает с шести до десяти утра UTC, что соответствует девяти-часу дня по Краснодару. emixter работает с двенадцати до семнадцати UTC по Киевскому времени. Julius de Rojas (США) работает поздним вечером UTC, когда у нас уже глубокая ночь.

Эта временная комплементарность означает, что платформа работает почти круглосуточно, даже когда каждый отдельный человек тратит на неё всего час-два в день. Каскад растягивается по времени так, что один из участников всегда оказывается "только что отредактировавшим", готовым подхватить следующий шаг.

Скорость отклика

Если цепная реакция реальна, должно быть характерное время отклика. После того как кто-то отредактировал задачу $P$, через сколько часов появится правка другого участника на той же задаче?

Из 343 каскадов в течение недели 295 проходят через меня. Их медианное время равно 13.6 часа. Их распределение почти плоское, что выдаёт мой режим работы "захожу раз в день и редактирую всё, что появилось".

Чистые сообщественные каскады ведут себя совсем иначе. Из 38 событий 17 (45%) попали в окно от 6 до 12 часов. Их медиана составляет 9.4 часа. Это указывает на пик характерного времени отклика, что является признаком настоящего самовозбуждающегося процесса с характерным масштабом затухания около 8-9 часов.

Формальный ответ. Процесс Хокса

Когда мы говорим "цепная реакция" в количественном смысле, мы обычно имеем в виду процесс Хокса. Это самовозбуждающийся точечный процесс с интенсивностью

$$
\lambda(t \mid \mathcal{H}(t)) = \mu + \alpha \sum_{t_i \lt t} e^{-\beta(t - t_i)} \tag{6}
$$

где $\mu$, постоянный фоновый поток событий, $\alpha$, амплитуда возбуждения от одного события, $\beta$, скорость затухания. Ключевая величина, ветвящий коэффициент

$$
n = \frac{\alpha}{\beta} \tag{7}
$$

Он равен среднему числу "дочерних" событий, которые порождает одно "родительское" событие. Если $n < 1$, процесс подкритический, каскады затухают. Если $n > 1$, процесс надкритический, число событий растёт экспоненциально. Случай $n = 1$ называется строго критическим.

Радиоактивный распад одного изотопа без накопления соответствует $\alpha = 0$, чистый пуассон. Ядерная реакция в реакторе с управлением соответствует $n \lesssim 1$, контролируемая цепная реакция. Атомная бомба соответствует $n > 1$.

Я подогнал параметры $(\mu, \alpha, \beta)$ методом максимального правдоподобия для двадцати восьми задач с наибольшим числом каскадов. Распределение полученных ветвящих коэффициентов показывает следующее.

Медианный ветвящий коэффициент составляет $n = 0.75$. 89.3% задач имеют подкритический режим. 67.9% находятся в "сильно подкритическом" диапазоне $0.5 < n < 1$, то есть с заметным самовозбуждением, но без взрыва.

Это и есть ответ на вопрос emixter. Появление решения на задаче $P$ повышает вероятность следующего решения на той же задаче. Каждое решение в среднем порождает 0.75 дочерних решений. Это означает, что каскад из 4 решений (взаимных правок) в среднем угасает примерно за $1 / (1 - n) = 4$ шага, как геометрическая прогрессия. Цепная реакция реальна, но контролируемая.

Аналогия в физике точнее, чем "цепная реакция". Это управляемый ядерный реактор, в котором нейтронное размножение чуть меньше единицы. Реакция идёт, но не выходит из под контроля. Точно так же на платформе одна правка тянет другую, но мощность не растёт экспоненциально, она затухает в течение нескольких часов или дней.

Где живёт настоящая цепная реакция. Комментарии

Тот же тест каскада можно применить не к правкам, а к комментариям. На платформе 141 комментарий за 18 месяцев. После комментария на задаче $P$ в течение 24 часов в 73% случаев появляется ещё один комментарий, и почти всегда (60 из 82) на той же задаче.

Это огромная кластеризация. Кратность отклика составляет 20 раз над случайным уровнем. И, в отличие от каскада правок, она почти не зависит от моего участия. Если убрать меня, кратность падает с 20.0 до 18.9. Это значит, что цепная реакция в комментариях полностью сообщественная.

Ещё интереснее переход между потоками событий. После комментария на задаче $P$ в 30.5% случаев в течение 24 часов на той же задаче появляется правка. По сравнению с базовым уровнем 0.125% это даёт кратность

$$
\mathrm{lift}_\mathrm{comment \to edit} = \frac{0.305}{0.00125} = 244 \tag{8}
$$

Двести сорок четыре раза. Это самый сильный причинный сигнал во всём анализе. Комментарий в каком то смысле "запускает" правку. Это работает как краудсорсинговая багрепортинг система. Кто то указывает на ошибку или вопрос, и через 15.8 часов (медианная задержка) кто-то её исправляет.

Лайки таким эффектом не обладают. Медианное время от лайка до следующей правки получателя в 3.7 раза больше типичного интервала между его сессиями. То есть лайк не ускоряет, а скорее коррелирует с уходом пользователя из активного режима. Это не значит, что лайки бесполезны (они приятны и формируют чувство признания), но в качестве топлива для цепной реакции они не работают.

Смена поколений

Платформа за 18 месяцев пережила три фазы лидерства. Это видно на стак-плоте месячной активности по топ-семи контрибьюторам.

Декабрь 2024 года, я работаю в одиночку. 932 правки за месяц. Это инициализация платформы, импорт первичного набора решений.

Март-сентябрь 2025 года. emixter становится самым активным контрибьютором (175 правок в марте, 125 в апреле, 47 в мае). К нему присоединяются Ismail (Казахстан), Picksell Prod (Россия), jzmicer (Беларусь). Активность распределяется между несколькими людьми.

Февраль-апрель 2026 года, третья волна. igor (Россия, КубГАУ) делает камбэк после полугодового затишья и в течение трёх месяцев пишет 128 правок. emixter продолжает работать. Я почти отсутствую (за весь январь и февраль 2026 года у меня ноль правок).

За последние 90 дней (с 19 февраля 2026 года) распределение выглядит так.

В сумме без основателя 264 правки за 90 дней, а у меня всего 26. Сообщество ведёт платформу в соотношении 91 к 9.

Накопленный вклад

Если посмотреть всю историю платформы, основатель и сообщество разделяются почти поровну. На середину сентября 2025 года совокупный вклад сообщества впервые превысил пятьдесят процентов. К маю 2026 года распределение составляет 56% сообщество, 44% основатель.

Это важное наблюдение для устойчивости платформы. Если бы я был единственным источником решений, моё отступление в начале 2026 года остановило бы развитие. Этого не случилось. Скорость накопления решений упала, но не до нуля. Платформа стала самоподдерживающимся проектом.

Специализация по главам

На графе видна ещё одна структурная особенность. Большинство контрибьюторов специализируются на определённых главах сборника, а не работают по всему диапазону.

igor сделал 97 из своих 324 правок на главе 11 (Оптика). Это 30% его вклада на одну главу из четырнадцати. Ismail сделал 146 из 158 правок на главе 2 (Динамика). Sergey_Kuleshov (МЭИ) сосредоточен на главе 4 (Жидкости). differ4ik решает Колебания. Эта тонкая специализация означает, что если вы заинтересуетесь, скажем, оптикой Савченко, то на платформе есть конкретный человек, который знает там почти всё. Если же это будет специализация на той главе, которая вас интересует, вы можете стать для неё таким же узловым специалистом.

Только два контрибьютора покрывают все четырнадцать глав. Я и emixter. Все остальные предпочитают глубину одной темы широте всех тем.

География сообщества

В платформе участвуют люди из восемнадцати стран. Распределение неравномерное, но широкое.

Беларусь лидирует по числу правок (1 599) преимущественно из за меня. Россия даёт 658 правок при восемнадцати контрибьюторах. Украина даёт 623 правки при четырёх контрибьюторах, и более 90% этих правок написал emixter лично. Казахстан имеет 14 участников (Ismail, Arman, AZ_21, Nurbaqyt и другие), что делает его второй страной по числу людей.

Среди представленных стран есть и неочевидные. Julius de Rojas (США) сделал 30 правок. crico (Куба) сделал 10. owais (Гонконг) сделал 9. Daniil (Молдова), heisei (Франция), maxi-baldiviezo (Аргентина) тоже здесь. Платформа неожиданно стала транснациональной.

Сводный ответ на вопрос emixter

Полная модель платформенной активности имеет вид

$$
\lambda(t, u, P \mid \mathcal{H}(t)) = \mu_{u}(t) + \alpha \sum_{\substack{t_i \lt t,\ P_i = P,\ u_i \neq u}} e^{-\beta(t - t_i)} \tag{9}
$$

где $\mu_u(t)$ есть индивидуальный непостоянный пуассоновский фон от каждого пользователя $u$ (с суточной и недельной сезонностью), а сумма по $i$ описывает локальное возбуждение от чужих правок на той же задаче $P$. Лучшие подгоны для горячих задач дают медианный ветвящий коэффициент $n = \alpha/\beta = 0.75$.

То есть строгий ответ на вопрос emixter следующий.

На уровне глобальной платформы появление решений это набор независимых пуассоновских процессов от каждого участника. Это радиоактивный распад. Но на уровне одной задачи появление решения повышает вероятность следующего решения на той же задаче примерно на 75 процентов. Это цепная реакция, но подкритическая, контролируемая. В среднем одна правка порождает 0.75 дочерних правок. И в комментариях этот эффект ещё сильнее. После комментария вероятность правки той же задачи возрастает в 244 раза.

Если бы платформа имела $n > 1$, то решение одной задачи лавинообразно запускало бы решение всех связанных задач, и нам бы пришлось активно охлаждать процесс. Сейчас же мы находимся в режиме реактора с коэффициентом размножения 0.75. Можно безопасно его подталкивать.

Что это значит для каждого из нас

Анализ даёт три практические рекомендации.

Комментируйте чужие решения. Это самый сильный причинный механизм на платформе. Кратность отклика 244 раз. Если вы видите чужое решение и у вас есть вопрос или замечание, оставьте комментарий. Через 15 часов кто-то его прочитает, отредактирует или ответит. Лайки приятны, но не запускают цепную реакцию. Комментарии запускают.

Подключайтесь и пишите своё решение, даже если оно не идеально. Это запускает каскад. Когда emixter написал свои 593 правки, я отреагировал на них 74 раза. Это не было моей курраторской прихотью, это была сцепка. Если ваше решение появилось в системе, оно становится опорной точкой для следующего шага кого-то другого.

Найдите свою главу. Анализ показывает, что специализация эффективнее охвата. У igor 97 правок на одной главе, у Ismail 146 правок на одной главе. Они стали признанными экспертами в своих темах. Если вы выберете одну главу из четырнадцати и посвятите ей пятьдесят правок, вы превратитесь в её главного специалиста.

И отдельно для тех, кто-только думает зарегистрироваться. В нашем сообществе 70 контрибьюторов из 18 стран. Из них пятнадцать сделали более пятнадцати правок. У вас есть шанс попасть в эту пятёрку за несколько вечеров. У нас есть 446 задач, к которым никто пока даже не прикасался. Любая из них может стать вашей.

Цель платформы, стать сильнейшей в мире коллекцией решений к задачнику О. Я. Савченко. Сейчас 77.9% задач имеют хотя бы одно решение. К концу 2026 года я хочу довести эту цифру до 95%. Это около 350 новых задач за полтора года. При нынешней скорости в 12 правок в день, это полностью выполнимо.

Что осталось за кадром

Несколько технических деталей, которые я обещал упомянуть.

Сессионизация с разрывом 30 минут это стандартный выбор для веб-аналитики. Альтернативные значения (15 минут, 60 минут) дают схожие качественные выводы.

Подгон процесса Хокса методом максимального правдоподобия выполнен через scipy.optimize.minimize с алгоритмом Нелдера-Мида. Логарифм правдоподобия для процесса Хокса с экспоненциальным ядром имеет вид

$$
\log L = \sum_i \log\lambda(t_i) - \mu T - \frac{\alpha}{\beta}\sum_i \left[1 - e^{-\beta(T - t_i)}\right] \tag{10}
$$

Точность подгона ограничена малым числом событий на задачу (медиана 7, максимум 37), поэтому отдельные значения $n$ имеют большую неопределённость. Но сводное распределение по 28 задачам устойчиво.

Тест Колмогорова-Смирнова на пуассоновскую гипотезу с месячной детрендировкой даёт $D = 0.132$, что превышает критическое значение и отвергает чистый пуассон. Остаточная структура объясняется суточной сезонностью и локальной кластеризацией на отдельных задачах, как описано выше.

Благодарности

Спасибо emixter за вопрос, который заставил меня сделать этот анализ. Спасибо igor, Ismail, Picksell Prod, Valentao, jzmicer, Sergey_Kuleshov, Pandemotor, ssstepa, Shrodinger_cat, differ4ik, Julius de Rojas, Clerk Maxwell, Sasha, AZ_21, Nurbaqyt, Roberto, Artem, Arman, crico, owais, Daniil, Pandemotor, paul.tichisanu, JustABeast, Artoghrul, Teymur, ibrahim, Meryem Abushova, Quorixis, I_HALIMOV, giorgiotinashvili, Roberto, ar4senN, Nurbek, Maqsat, Islambek, Temirlan, Zhanseiit, Rostyslav, bandemort, motorchik_228, zholtik, naz, Yarocrafter, priusfox, fcubsovv, Maxim, RozhnovMV, bbush, AW3Rgo0l, Spiral, KerQwe, Dostonbek, IVA, shaposhnik daniil, Buchander, the_raspberrygirl, LyubitelFiziki, Artemij_Chess, nikuluna.arina.s07, heisei, Marcus, Xolbek, Azizbek, ogWlean, muhammadazizmakhsutaliyev, kriukov, Jorge Llorente 08, maxi-baldiviezo, Nolemacil и всем остальным.

Без вас платформы бы не было. Все вы являетесь частью этой коллекции, и каждое ваше решение становится опорой для следующего шага кого-то другого.

Что почитать дальше

Бурстовая динамика человеческой активности подробно разобрана в работе Barabasi, A.-L. The origin of bursts and heavy tails in human dynamics, Nature 435, 207 (2005).

Процесс Хокса как модель самовозбуждающихся систем разбирается в обзоре Laub, P. J. et al. Hawkes processes, arXiv 1507.02822.

Книгу О. Я. Савченко "Задачи по физике" в открытом виде вы найдёте на нашей платформе. Если вам понравился такой стиль анализа, можете оставить комментарий, лайк или, что особенно ценно, написать собственное решение к одной из 446 оставшихся задач.

astrosander, 19 мая 2026 года.

Если вы хотите присоединиться, регистрация бесплатна и занимает минуту. Английская версия этого поста появится позднее.

Хэштеги. #физика #ЗадачникСавченко #цепная_реакция #процессХокса #олимпиадная_физика #savchenkosolutions