Solutions of Savchenko Problems in Physics knowledge must be free
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.2.28^*.$ На тележке установлен цилиндрический сосуд с площадью сечения $S$, наполненный жидкостью плотности $ρ$. От сосуда параллельно полу отходит длинная и тонкая горизонтальная трубка, небольшой отрезок которой вблизи конца загнут по вертикали вниз. Расстояние от оси сосуда до отверстия трубки равно $L$. Уровень жидкости в сосуде опускается с ускорением $a$. Какой горизонтальной силой можно удержать тележку на месте?
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="230" />
<figcaption>
К задаче 2.2.28
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Поместим точку ноль горизонтальной оси под цилиндром. Запишем функцию изменения положения точки центра масс системы от времени:
$$ x_{c}(t) = \frac{L m(t)}{M}, $$
где $ m(t) $ – масса жидкости, вылившейся из сосуда на расстоянии $ L $, а $ M $ – полная масса жидкости.
</p>
<p>
$$ m(t) = h(t) S \rho $$
где $ h(t) $ – уровень жидкости в сосуде, считая от верхней точки (т.е. $ h(0) = 0 $).
$$ h(t) = \frac{a t^2}{2}. $$
Подставим одно в другое и получим:
$$ x_{c}(t) = \frac{L S \rho a t^2}{2 M}, $$
или
$$ x_{c}(t) = \frac{a t^2}{2}, $$
где
$ a_{c} = \frac{L S \rho a}{M} $ – ускорение центра масс системы.
Мы видим, что центр масс системы движется по оси $ x $ равноускоренно. Значит, его скорость меняется со временем по закону $ v_{c}(t) = a_{c} t $
</p>
<p>
Теперь мы можем сказать, как зависит от времени импульс системы:
$$ p(t) = M v_{c}(t). M = a_{c} M. $$
Воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме, чтобы определить силу, в результате действия которой меняется импульс системы (единственная такая сила, действующая по оси $ x $ – это искомая сила реакции опоры).
$$ F = \frac{dp}{dt} = M a_{c} = \frac{L S \rho a}{M} M. $$
Наконец, подставив выражение для $ a_{c} $, получим:
$$ F = \frac{L S \rho a}{M} M$$
$$\boxed{F = L S \rho a}$$
</p>
<h4>
Ответ:
</h4>
<p>$$F = SρLa$$</p>
Savchenko Solutions