Доска массы m лежит на двух катках, вращающихся с большой скоростью навстречу друг другу. Расстояние между осями катков L, коэффициенттрения при скольжении доски по катку µ. Найдите частоту продольных колебаний доски.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.2.14.$ Доска массы $m$ лежит на двух катках, вращающихся с большой скоростью навстречу друг другу. Расстояние между осями катков $L$, коэффициент

трения при скольжении доски по катку $µ$. Найдите частоту продольных колебаний доски.

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        </p>

Второй закон Ньютона для горизонатальной оси $$ma=F_{fr1}-F_{fr2}$$ Условие равновесия для вертикальной оси $$mg=N_1+N_2\quad(1)$$ В условии равновесия, сумма момента внешних сил, должна быть равна нулю $$N_1\left(\frac{l}{2}-x\right)-N_2\left(\frac{l}{2}+x\right)=0$$ Откуда сила реакции на вторую опору $$N_2=N_1\left(\frac{L/2-x}{L/2+x}\right)$$ Подставляем в $(1)$ $$mg=N_1\left(1+\frac{L/2-x}{L/2+x}\right)$$ $$N_1=mg\left(\frac{L/2+x}{L}\right);\quad N_2=mg\left(\frac{L/2-x}{L}\right)$$ Второй закон Ньютона для горизонтальной оси $$m\ddot{x}=\mu N_2-\mu N_1= - \mu mg \frac{2x}{L}\quad(2)$$ Преобразуем полученное выражением и получаем уравнение гармонических колебаний $$\ddot{x}(t)+\frac{2\mu g}{l}x(t)=0$$ Откуда угловая частота колебаний $$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{2\mu g}{l}}}$$

	  <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
		  Dzikan Mikita<br>
        Aliaksandr Kanashenka<br>
    </p>

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$\omega=\sqrt{\frac{2\mu g}{l}}$$
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>