Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.1.31.$ На гладком горизонтальном столе расположена система грузов, изображенная на рисунке. Правый нижний груз тянут вдоль стола с силой $F$, как указано на рисунке. Коэффициент трения между грузами массы $m_1$ и $m_2$ равен $\mu $. Найдите ускорение всех грузов системы.
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="250" />
<figcaption>
К задаче 2.1.31
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Перенумеруем грузы так, как показано на рисунке, и ось $X$ направим вправо.
</p>
<br>
<center>
<figure>
<img src="sol.png"
loading="lazy" width="350" />
<figcaption>
Силы действующие на грузы
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Ясно, что тогда ни один из грузов не может иметь отрицательного ускорения.
</p>
<p>
Докажем что грузы $3$ и $4$ движутся как одно целое. Для этого предположим противное: пусть груз $3$ скользит по грузу $4$. Тогда между ними возникает сила трения
$$F_{тр}= \mu mg$$
а в нити возникает сила упругости
$$T> \mu mg$$
При этом ускорение груза $2$ было бы направлено влево, чего не может быть. Следовательно, ускорения грузов $2$, $3$ и $4$ одинаковы.
</p>
<p>
Обозначим ускорение этих грузов через $\bar{a}_{1}=\bar{a}_{2}$, а ускоренbе груза $1$ через $\bar{a}_{1}$.
</p>
<p>
Теперь рассмотрим два случая.
</p>
<p>
Случай 1. Пусть грузы $1$ и $2$ находятся в относительном покое и $\bar{a}_{1}=\bar{a}_{2}$.
</p>
<p>
Обозначим модуль силы трения покоя между ними через $F_1$ -модуль силы трения между грузами $3$ и $4$ через $F_2$ и модуль силы упругости нити через $T$ .
</p>
<p>
Тогда: для груза $1$
$$F-F_{1}=Ma_{1}$$
для груза $2$
$$F_{1}-T=ma_{2}$$
для груза $3$
$$T-F_{2}=ma_{2}$$
для груза $4$
$$F_{2}=Ma_{2}$$
Решая эту систему уравнений, получаем:
$$F_{1}=\frac{2m+M}{2(M+m)}F,a_{1}=a_{2}=\frac{F}{2(M+m)}$$
Этот же результат можно получить и другим путем. Так как трение между всеми поверхностями является трением покоя, то система грузов движется как одно тело с массой $M=2(M+m)$.
</p>
<p>
Поэтому
$$\bar{F}=m \bar{a}_{1},\bar{a}_{1}=\bar{a}_{2}= \frac{\bar{F}}{2(M+m)}$$
Случай $2$.
</p>
<p>
Пусть груз $2$ скользит то грузу $1$. Тогда на груз $1$ действует сила трения
$$F_{тр}^{\prime}= \mu mg$$
и этот груз получает ускорение $a_{1}=\frac{F- \mu mg}{m}$.
</p>
<p>
Система грузов $2$, $3$ и $4$ движется как одно тело, масса которого $M_{0}=2m+M$ с ускорением
$$a_{2}=\frac{\mu mg}{2m+M}$$
Первый случай реализуется, если
$$F \geq \frac{2 \mu m (m+M)g}{2m+M}$$
</p>
<h3>
Ответ:
</h3>
<p>
При $F\leqslant\frac{2\mu m_{1}g(m_{1}+m_{2})}{m_{2}+2m_{1}}\equiv F_{0}$ получаем $a_{1\text{пев}}=a_{1\text{прав}}=a_{2\text{прав}}=\frac{F}{2(m_{1}+m_{2})}$
</p>
<p>
При $F\geqslant F_{0}$ получаем $a_{2\text{прав}}=\frac{F-\mu m_{1}g}{m_{2}}$, $a_{1\text{лев}}=a_{1\text{прав}}=a_{2\text{лев}}=\frac{\mu m_{1}g}{m_{2}+2m_{1}}$
</p>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions