Бусинка с зарядом q может двигаться без трения по натянутой нити длины 2L, на концах которой закреплены заряды Q. Найдите приращениепотенциальной энергии при смещении бусинки на x вдоль нити из ее центра.Убедитесь, что при малых смещениях зависимость приращения потенциальнойэнергии от x квадратичная. Найдите, на сколько сместится бусинка массы m,если в положении равновесия ей сообщат небольшую скорость v.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.1.10^*.$ Бусинка с зарядом $q$ может двигаться без трения по натянутой нити длины $2L$, на концах которой закреплены заряды $Q$. Найдите приращение

потенциальной энергии при смещении бусинки на $x$ вдоль нити из ее центра.
Убедитесь, что при малых смещениях зависимость приращения потенциальной
энергии от $x$ квадратичная. Найдите, на сколько сместится бусинка массы $m$,
если в положении равновесия ей сообщат небольшую скорость $v$.

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Начальная энергия электрического поля

$$U_1=\frac{2kQq}{L}$$
Энергия системы после смещения бусины
$$U_2=\frac{kQq}{L-x}+\frac{kQq}{L+x}$$
Изменение энергии системы
$$\Delta U=U_2-U_1=kQq\left(\frac{1}{L-x}+\frac{1}{L+x}-\frac{2}{L}\right)$$
Рассмотрим преобразование для малых значений $(1+\xi)^\alpha=1+\alpha\xi$, где $\xi\ll1$
$$\boxed{\Delta U \approx\frac{Qqx^2}{2\pi\varepsilon_0L^3}}$$
Из принципа сохранения энергии следует, что кинетическая энергия будет равна изменению электрической энергии $\Delta U$
$$E_k=\Delta U\Leftrightarrow \frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{Qq\Delta x^2}{2\pi\varepsilon_0L^3}$$
Откуда мы находим изменение длины $\Delta x$
$$\boxed{\Delta x=\upsilon\sqrt{\frac{m\pi\varepsilon_0L^3}{Qq}}}$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$\Delta U=\frac{Qqx^2}{2\pi\varepsilon_0L^3};\quad\Delta x=\upsilon\sqrt{\frac{m\pi\varepsilon_0L^3}{Qq}}$$
    </p>

Dzikan Mikita

<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>