Решение

По приведённому авторами ответу $(\approx 75 \mathrm{~м/с})$ нельзя догадаться об идее решения. Задача же стоит того, чтобы её решить. Само собой разумеется, что в описанной фантастической ситуации атмосфера на Земле отсутствует. А вот термины «оценить» необходимо уточнить. Ведь речь идёт не об оценке порядка физической величины, а об обычном её вычислении, привычном при решении задач.

Физическая интуиция подсказывает: огромное время полёта обеих булав свидетельствует о близости их начальных скоростей ко второй космической $v_2 = \sqrt{2gR} ≈ 11.2$ км/с. Значит, разность начальных скоростей булав весьма мала по сравнению с $\sqrt{2gR}$.

Наибольшую высоту подъема тела $H$, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$, найдём из закона сохранения энергии:

$$\frac{m v_0^2}{2} - \frac{G m M}{R} = -\frac{G m M}{R + H}$$

Учитывая, что $GM = gR^2$, находим:

$$H = \frac{v_0^2 R}{2gR - v_0^2}$$

Здесь $M$ — масса Земли, $R$ — её радиус.

Так как величина $v_0$ лишь немного меньше, чем $\sqrt{2gR}$, то из вычисленной формулы следует, что $H \gg R$. Последнее неизвестное мы найдем далее.

Чтобы избежать применения высшей математики, рассмотрим падение булавы с огромной высоты по сравнению с радиусом Земли. Ведь оно не прямой, а по чрезвычайно вытянутому эллипсу с Землей в одном из его фокусов. Здесь нам поможет третий закон Кеплера:

$$\frac{T^2}{(2\pi \sqrt{R / g})^2} = \frac{(H / 2)^3}{R^3}$$

где $2\pi \sqrt{R / g}$ — период обращения низколетящего над поверхностью Земли спутника, $T$ — время движения булавы. Следовательно:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}\cdot \left(\frac{H}{2R}\right)^{3}}$$

Объединяя выше приведённые формулы, получаем:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g} \cdot \left(\frac{v_0^2}{4gR - 2v_0^2}\right)^3}$$

откуда

$$v_0=\frac{\sqrt{2gR}}{\sqrt{1+\sqrt[3]{\frac{\pi^2R}{2gT^2}}}}.\tag{1}$$

Вычисления по формуле (1) очевидны, но всё же интересно получить более простую структурную (буквенную) формулу для искомой разности начальных скоростей булав $v_{02} - v_{01}$. Эта формула будет приближённой, однако достаточно точной из-за малости величины:

$$\alpha = \sqrt[3]{\frac{\pi^2 R}{2gT^2}}$$

С учётом соотношения $(1 + \alpha)^x \approx 1 + \alpha x$, при $x = -1/2$, имеем:

$$v_0 = \sqrt{2gR} \cdot \left(1 - \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{\pi^2 R}{2gT^2}} \right).$$

Следовательно:

$$v_{02} - v_{01} = \sqrt{2gR} \cdot \sqrt[3]{\frac{\pi^2 R}{16g}} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{T_1^2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{T_2^2}}\right).$$

Подстановка числовых значений даёт:

$$v_{02} - v_{01} \approx 71{,}6 ~ \text{м/с}.$$