Решение

$$N=mg\cos\varphi$$ Воспользуем приближением, при $\varphi\ll1$, $\cos\varphi=1-\frac{\varphi^2}{2}$: $$N\approx mg\left(1-\frac{\varphi^2}{2}\right)=mg\left(1-\frac{A^2}{2R^2}\right)\quad(1)$$ $$N+\Delta=m(a+g)=m\left(\frac{\upsilon^2}{R}+g\right)$$ Закон сохранения энергии $$mgR(1-\cos\varphi)\approx mgR\frac{\varphi^2}{2}=\frac{m\upsilon^2}{2}$$ $$N+\Delta=m\left(\frac{gR\varphi^2}{R}+g\right)=mg(1+\varphi^2)$$ $$N+\Delta=mg\left(1+\frac{A^2}{R^2}\right)\quad(2)$$ Далее решаем систему из уравнений $(1)$ и $(2)$ и получаем, что: $$\fbox{$A=R\sqrt{\frac{2\Delta}{3N+\Delta}}$}$$