Решение

Рассмотрим геометрию системы:

$$BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$$

$$l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$$

Воспользуемся тригонометрическим преобразованием $(1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha):$

$$2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$$

Откуда выражаем значение для половины угла отклонения $\alpha$

$$\sin\alpha =\frac{r}{2l}\quad(a)$$

Из закона сохранения энергии:

$$E=E_\text{кин}+E_{пот}$$

$E_\text{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$, т.к. потенциальная энергия будет минимальной

$$\frac{mv_\text{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$$

Сокращаем на массу грузика $m$

$$\frac{v_\text{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$$

Откуда выражаем наибольшую скорость грузика

$$v_\text{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha} \quad(b)$$

Подставляем угол $\alpha$ из $(a)$ в выражение $(b)$:

$$v_\text{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$$