Решение

Запишем момент сил относительно двух удобных точек; точки $O$ и центра масс:

$$J\varepsilon=Fx$$

$$J_c\varepsilon=F(x-R)-F'R$$

Момент инерции относительно точки $O$ выражаем через момент инерции относительно центра масс по теореме Штейнера:

$$J=J_c+mR^2$$

Выразим момент инерции относительно центра масс:

$$J_c=J-mR^2$$

Через самое первое уравнение динамики вращательного движения выразим угловое ускорение:

$$\varepsilon=\frac{Fx}{J}$$

Подставим нужные нам значения во второе уравнение динамики вращательного движения:

$$(J-mR^2)\varepsilon=Fx-FR-F'R$$

Откроем скобки:

$$Fx-mR^2\frac{Fx}{J}=Fx-FR-F'R$$

Преобразуем:

$$F'R=FR(\frac{mRx}{J}-1)$$

Получем ответ для произвольно значения $x$:

$$\boxed{F'=F(mRx/J-1)}$$

Минимальная сила на ось будет равна нулю.

$$F'=0$$

Из ответа на первый вопрос видно, что при силе равной нулю, мы получим следущие выражение:

$$\frac{mRx}{J}=1$$

Получаем ответ:

$$\boxed{x=J/(mR)}$$