Решение

Направим ось $Y$ вдоль оси $OO''$ вверх, ось $X$ направим вдоль оси $OO'$ вправо согласно рисунку к задаче (начало координат в точке $O$ этого рисунка). Пусть частица пучка в начальный момент времени имеет координаты $x_0=0$ и $y_0>0$, а ее скорость $v_0$ направдена вдоль оси $X$ вправо. Для этой частицы запишем уравнение сил в дифференциальной форме в проекции на ось $Y$:

$$-ky=m\ddot{y}.$$

Это уравнение гармонических колебаний вдоль оси $Y$. С учетом начальных условий координата по этой оси меняется по закону:

$$y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}t\right).$$

По оси $X$ движение частицы равномерное:

$$x=v_0t.$$

Подставив это уравнение в предыдущее, получаем зависимость $y(x)$:

$$y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x}{v_0}\right).$$

Координаты $x_f$ на оси $X$, при которых частица оказывается на этой оси ($y=0$), должны удовлетворять, конечно, равенству:

$$0=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}\right),$$

или:

$$0=\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}\right).$$

Таким образом мы доказали, что при данных начальных условиях координата $x_f$ в общем случае не зависит от начального положения частицы на оси $Y$.

Найдем все возможные значения $x_f$. Из предыдущего уравнения имеем:

$$\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}=\frac\pi2+\pi n \quad (n=0,1,2,\ldots).$$

То есть:

$$x_f=\pi\left(\frac12+n\right)\sqrt\frac{m\strut}{k}v_0 \quad (n=0,1,2,\ldots).$$