Решение

До того как на тело положат дополнительный грузик, оно находится в положении равновесия. Сила тяжести уравновешивается кулоновской силой отталкивания между одноименно заряженными зарядами:

$$mg=\frac{kqQ}{R^{2}}$$
$$kqQ=mgR^{2} \tag{1}$$

После того как на тело положили грузик, система приходит в движение под действием результирующий силы тяжести и кулоновского взаимодействия. Пусть тело с грузиком опустилось на малую величину $x$, запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

$$(m+\Delta m)g-\frac{kqQ}{(R-x)^{2}}=(m+\Delta m)a \tag{2}$$

Подставим (1) в (2):

$$(m+\Delta m)g-\frac{mgR^{2}}{R^{2}(1-\frac{x}{R})^{2}}=(m+\Delta m)a$$
$$(m+\Delta m)g-mg\left( 1-\frac{x}{R} \right)^{-2}=(m+\Delta m)a$$

Поскольку $x\ll R$ воспользуемся разложением в ряд функции $\left( 1-x \right)^{-\alpha}\approx 1+\alpha x$:

$$(m+\Delta m)g-mg\left( 1+\frac{2x}{R} \right)=(m+\Delta m)a$$
$$\Delta mg-\frac{2mgx}{R}=(m+\Delta m)a \tag{3}$$

Поскольку ускорение есть производная от скорости, то при максимальной скорости её производная, а значит ускорение, равно 0 ($a=0$). Из (3) можем найти положение тела с грузиком $x_{0}$ при $\upsilon=\upsilon_{макс}$:

$$\Delta mg-\frac{2mgx_{0}}{R}=0$$
$$x_{0}=\frac{\Delta mR}{2m} \tag{4}$$

Запишем закон сохранения энергии для двух положений тела: когда на тело только положили грузик и когда тело с грузиком имеет максимальную скорость.

$$(m+\Delta m)gR+\frac{kqQ}{R}=(m+\Delta m)g(R-x_{0})+\frac{kqQ}{R-x_{0}}+\frac{1}{2}(m+\Delta m)\upsilon^{2}$$
$$(m+\Delta m)gx_{0}-kqQ\frac{x_{0}}{R(R-x_{0})}=\frac{1}{2}(m+\Delta m)\upsilon^{2}$$

Выразим $\upsilon^{2}$:

$$\upsilon^{2}=2gx_{0}-\frac{2kqQ}{m+\Delta m}\cdot \frac{x_{0}}{R(R-x_{0})} \tag{5}$$

Подставим (1) и (4) в (5):

$$\upsilon^{2}=2g\frac{\Delta mR}{2m}-\frac{2mgR^{2}}{m+\Delta m}\cdot \frac{\frac{\Delta mR}{2m}}{R^{2}(1-\frac{\frac{\Delta mR}{2m}}{R})}$$
$$\upsilon^{2}=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta mgR}{m\left( 1+\frac{\Delta m}{m} \right)\cdot \left( 1-\frac{\Delta m}{2m} \right)}$$

Поскольку $\Delta m\ll m$ опять воспользуемся разложением в ряд функции $\left( 1-x \right)^{-\alpha}\approx 1+\alpha x$:

$$\upsilon^{2}=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta m}{m}gR\cdot \left( 1-\frac{\Delta m}{m} \right)\cdot \left( 1+\frac{\Delta m}{2m} \right)$$

Раскроем скобки и ограничимся первым порядком малой величины $\Delta m$:

$$\upsilon^{2}=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta m}{m}gR\cdot \left( 1+\frac{\Delta m}{2m}-\frac{\Delta m}{m} \right)=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta m}{m}gR\cdot \left( 1-\frac{\Delta m}{2m}\right)$$
$$\upsilon^{2}=\left( \frac{\Delta m}{m} \right)^{2}\frac{gR}{2}$$

Окончательно:

$$\upsilon=\frac{\Delta m}{m}\sqrt{\frac{gR}{2}}$$