Решение

Заряженный стержень своим полем формирует индуцированные заряды на внутренней поверхности цилиндрической полости. И если стержень достаточно длинный, то индуцированные заряды не создают поля внутри полости. А в области сужения полости поле индуцированных зарядов имеет составляющую вдоль оси полости. Иначе говоря, индуцированные заряды, располагающиеся на склоне области сужения полости, начнут притягивать движущийся стержень, что и приводит к замедлению его движения.

Вместе с движущимся стержнем перемещается и область пространства, заполненного электрическим полем. Причем объем этого пространства слева и справа от области сужения различен. Следовательно, различна и энергия электрического поля. Ее изменение как раз и равно убыли кинетической энергии движущегося стержня:

$$\frac{1}{2}m\upsilon_{0}^{2}-\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\Delta W$$

Отсюда:

$$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{2\Delta W}{m\upsilon_{0}^{2}}} \tag{1}$$

Энергия электрического поля в некотором объёме:

$$W=\int\frac{\varepsilon_{0}E^{2}}{2}dV$$

Напряженность электрического поля, созданного стержнем, на расстоянии $r$ найдём из теоремы Гаусса:

$$\int \vec E\cdot d\vec S=\frac{q}{\varepsilon_{0}}$$
$$E\cdot 2\pi rl=\frac{q}{\varepsilon_{0}}$$

где $l$ - длина стержня. Поскольку $\rho=\frac{q}{l}$, окончательно получим:

$$E=\frac{\rho}{2\pi\varepsilon_{0}r}$$

Для цилиндрической области элементарный объём: $dV=2\pi rldr$.

Хоть стержень у нас тонкий, он всё равно обладает некоторой толщиной. Обозначим её $2\delta$. Тогда энергия электрического поля, созданного стержнем в цилиндрической
полости радиусом $R_{2}$:

$$W_{2}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{\delta}^{R_{2}}\frac{2\rho^{2}\pi rl}{4\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}r^{2}}dr=\frac{l\rho^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{R_{2}}{\delta}$$

Аналогично энергия электрического поля, созданного стержнем в цилиндрической
полости радиусом $R_{1}$:

$$W_{1}=\frac{l\rho^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{R_{1}}{\delta}$$

При изменении радиуса полости от $R_{2}$ до $R_{1}$ энергия поля изменяется на величину:

$$\Delta W=W_{1}-W_{2}=\frac{l\rho^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{R_{1}}{R_{2}} \tag{2}$$

Подставим (2) в (1) и найдём скорость стержня:

$$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{\rho^{2}l}{2\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}}\ln\frac{R_{1}}{R_{2}}}$$