11.6.11∗. а. Напряженность электрического поля внутри круглого плоского конденсатора, заполненного веществом с диэлектрической проницаемостью $ε$, линейно растет со временем: $E = αt$. Определите индукцию магнитного поля внутри конденсатора на расстоянии $r$ от его центра. б. Напряжение на обкладках плоского конденсатора линейно растет со временем: $V = αt$. Радиус обкладок $r_0$, расстояние между ними $h$. По оси конденсатора вставлен диэлектрический цилиндр радиуса r с диэлектрической непроницаемостью $ε$. Определите индукцию магнитного поля на боковой поверхности цилиндра и на краю конденсатора.
Решение
а. Из обобщённой теоремы о циркуляции для тока смещения: $$\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{dN}{dt}$$ Поток электрического поля равен: $$N = \pi r^2 \varepsilon E = \pi r^2 \varepsilon \alpha t$$ Тогда циркуляция магнитного поля равна: $$\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r^2$$ Магнтное поле циркулирует по окружности, поэтому: $$B\cdot2\pi r = \mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r^2 \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r}{2}$$ б. Из обобщённой теоремы о циркуляции для тока смещения: $$\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{dN}{dt}$$ Поток электрического поля равен: $$N = \varepsilon E \pi r^2 + E\pi(r_0^2 - r^2) = \frac{\pi\alpha t}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)$$ Циркуляция магнитного поля равна: $$\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\pi\alpha}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)$$ Циркулировать векторы магнитной индукции будут по окружности: $$B\cdot2\pi r = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\pi\alpha}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2) \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\mu_0\varepsilon_0 \alpha}{2r_0h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)$$
