Решение

Комплексный метод. Положим комплексная амплитуда напряжения на входе имеет нулевую начальную фазу; обозначим ее так

$$U_{in}e^{i0^\circ}=U_{in},$$

где $U_{in}$ есть модуль амплитуды входного напряжения.

Комплексная амплитуда напряжения на выходе может иметь в общем случае тогда отличную от нуля начальную фазу $\varphi$; вот ее изображение

$$U_{out}e^{i\varphi},$$

где $U_{out}$ есть модуль амплитуды выходного напряжения.

По аналогии с цепью постоянного тока для напряжения на выходе имеем

$$U_{out}e^{i\varphi}=\dfrac{U_{in}}{Z_L+Z_C}Z_C,$$

где $Z_L$ и $Z_C$ есть комплексные сопротивления дросселя (катушки) и конденсатора.

Учитывая, что $U_{in}=10U_{out}$, предыдущее уравнение упрощается в такое

$$\left(Z_L+Z_C\right)e^{i\varphi}=10Z_C,$$

По определению $Z_L=i\omega L$ и $Z_C=\dfrac{1}{i\omega C}$, где $\omega=2\pi\nu$. Тогда из предыдущего после несложных преобразований можем выразить индуктивность:

$$L=-\dfrac{1}{\omega^2Ce^{i\varphi}}\left(10-e^{i\varphi}\right),$$
здесь учтено, что $i^2=-1$.

Индуктивность есть величина реальная (без мнимой части) и положительная. Этому удовлетворяет только комплекс $e^{i\varphi}=-1$, что дает фазу выходного напряжения $\varphi=180^\circ$.

Поэтому

$$L=\dfrac{11}{\omega^2C}=\dfrac{11}{\left(2\pi\nu\right)^2C}\approx2{,}8~\text{Гн}.$$

Примечание: в задачнике 1981 года дается иное значение в ответе, что может быть обусловлено некорректными вычислениями, к которым, например, ведут совместно пренебрежение различием фаз входного и выходного напряжений и действия с модулями так называемых реактивных сопротивлений катушки и конденсатора.