Решение

Сначала представим себе патрон. Схематический рисунок приведён внизу. Для нас самое главное, что он состоит из двух составных частей: пули и гильзы. Пуля вставлена в гильзу.

Именно эти части во время сжигания пороха в костре разлетаются в разные стороны.

Решим задачу двумя способами: материаловедческий и баллистический.

Материаловедческий способ.

Порох сжигается в гильзе, при этом образуются газы. Рассматриваем гильзу как тонкостенный цилиндр с диаметром $d$, толщиной стенок $\delta$ и длиной $L_{г}$. Толщина стенки $\delta\ll d$.

Газы сжигания давят во все стороны равномерно, пытаясь разорвать гильзу. Механические напряжения, возникающие в стенках гильзы, равномерны по толщине. На рисунке внизу схематически представлены силы действующие по всей длине гильзы на одну из половин цилиндра:

Давление действует на внутреннюю поверхность. Нас интересует результирующая сила, разрывающая цилиндр пополам. Результирующая проекция силы давления на плоскость разреза равна давлению, умноженному на проекцию площади:

$$F_{рез}=P\cdot L_{г}d$$

С двух сторон разреза действуют силы натяжения стенки. Если обозначить механическое напряжение $\sigma$, тогда сила натяжения стенки гильзы:

$$F_{1}=\sigma\cdot L_{г}\delta$$

Условие равновесия:

$$F_{рез}=2F_{1}$$
$$P\cdot L_{г}d=2\sigma\cdot L_{г}\delta\Longrightarrow P=\frac{2\sigma\delta}{d}$$

При нагреве в костре материал тонкостенной оболочки гильзы начинает пластически деформироваться. Появляются локальные раздутия, утончения стенок, сцепление пули со стенками гильзы практически исчезает. Поэтому критическим давлением, когда пуля начнёт выходить из гильзы, будет:

$$P_{кр}=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}$$

где $\sigma_{тек}$ - предел текучести материала гильзы.

При сжигании пороха давление быстро достигает значения $P_{кр}$ и работу газов можно считать оценочно, как при изобарическом процессе:

$$A=\int PdV\approx P_{кр}\cdot \Delta V$$

Изменение объёма:

$$\Delta V=S\cdot \Delta x$$

где $S=\frac{\pi d^{2}}{4}$ - площадь торца пули (при $\delta\ll d$ можно считать площадь торца пули такая же как площадь поперечного сечения гильзы); $\Delta x=L_{г}+L_{п}-L_{пат}$ - ход пули в гильзе. $L_{п}$ - длина пули, $L_{пат}$ - длина патрона.

Тогда работу газов можна записать:

$$A=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$