Решение

У цунами сейсмического происхождения длина волны $\lambda$ составляет от 100 до 300 км. Средняя глубина океана $H$ составляет от 4 до 5 км. В случае с цунами отношение $\frac{H}{\lambda}$ колеблеться от 0,01 до 0,05, что позволяет считать $\frac{H}{\lambda}\ll 1$. Тогда мы вправе использовать для скорости распространения цунами формулу скорости волны на "мелкой" воде, которая была получена в задаче $3.6.27.$:

$$c=\sqrt{gH}$$

Поскольку скорость $c$ зависит от глубины, любое изменение рельефа дна приводит к преломлению волновых лучей. Пусть цунами распространяется в среде с меняющейся глубиной $H(x,y)$, где $x$ - координата вдоль оси подводного хребта, а $y$ - перпендикулярно ему. Если параметры хребта вдоль оси $x$ однородны, то для любого волнового луча выполняется инвариант закона преломления:

$$\frac{c(y)}{\sin\theta(y)}=const$$

где $\theta(y)$ - угол между вектором направления распространения волны и нормалью к боковой границе хребта в данной точке. Из этого инварианта следует, что при переходе волны из зоны меньшей скорости (над хребтом) в зону большей скорости (глубокий океан) угол $\theta$ обязан увеличиваться.

Рассмотрим идеализированный П-образный профиль подводного хребта.

Над хребтом глубина равна $H_{1}$, скорость волны $c_{1}=\sqrt{gH_{1}}$. За пределами хребта глубина равна $H_{2}$, причем $H_{2}\gt H_{1}$, скорость волны $c_{2}=\sqrt{gH_{2}}$.

По аналогии с оптикой, область над хребтом является «оптически более плотной» средой, так как скорость волны здесь меньше $c_{1}\lt c_{2}$. Когда волна, находящаяся внутри области хребта, падает на его боковую границу под углом $\theta_{1}$, то по закон преломления:

$$\frac{c_{1}}{\sin\theta_{1}}=\frac{c_{2}}{\sin\theta_{2}}\Longrightarrow \sin\theta_{2}=\frac{c_{2}}{c_{1}}\sin\theta_{1}=\sqrt{\frac{H_{2}}{H_{1}}}\sin\theta_{1}$$

Критический угол падения достигается в момент, когда преломленный луч уходит строго вдоль границы раздела, то есть угол преломления $\theta_{2}=90^{\circ }$, тогда:

$$\sin\theta_{кр}=\sqrt{\frac{H_{1}}{H_{2}}}\Longrightarrow \theta_{кр}=\arcsin\left( \sqrt{\frac{H_{1}}{H_{2}}} \right)$$

Если угол падения волны на боковую стенку хребта превышает критический, то волна не может выйти в глубокий океан - происходит полное внутреннее отражение, и вся энергия волны отражается обратно внутрь хребта.

П-образный профиль хребта шириной $S$ физически тождественен классическому диэлектрическому плоскопараллельному волноводу. Волна цунами, рожденная над хребтом или вошедшая в него под достаточно острым углом к его оси, распространяется зигзагообразно. При каждом столкновении с левой или правой вертикальной границей раздела глубин угол падения к нормали стенки оказывается больше критического $\theta_{кр}$. Волна испытывает полное внутреннее отражение. Её фронт меняет направление, возвращаясь обратно к геометрическому центру хребта. Поток энергии локализуется внутри «коридора» шириной $S$. Геометрическое расхождение волны из двумерного (по площади всего океана) превращается в одномерное - вдоль хребта. Именно поэтому цунами сохраняет свою колоссальную разрушительную силу на расстояниях в тысячи километров.