3.4.11∗. Два шарика массы $m_1$ и $m_2$, прикрепленные к одинаковым пружинам, могут колебаться, скользя по бруску массы $M$ без трения. Брусок лежит на горизонтальной плоскости. Шарики связаны нитью, сила натяжения которой $F$. Нить пережигают. При каком наименьшем коэффициенте трения между плоскостью и бруском тот не сдвинется с места?
[pic]
Решение
Считаем, брусок не двигается. После пережигания нити шары совершают гармонические колебания; силы их пружин меняются гармонически в пределах
$$[-F;F].$$
Отсчитываем время $t$ от пережигания, ось $x$ направим вправо. Со стороны левой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила
$$f_1=F\cos\left(\omega_1t\right),$$
где $\omega_1$ есть угловая частота колебаний шара $m_1$.
Со стороны правой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила
$$f_2=-F\cos\left(\omega_2t\right),$$
где $\omega_2$ есть угловая частота колебаний шара $m_2$.
Условие неподвижности бруска из второго закона Ньютона:
где $\mu$ есть коэффициент трения между плоскостью и бруском.
Максимальное возможное значение $\left|f_1+f_2\right|$ не может превышать
$$2F.$$
Можно обеспечить минимальный коэф. трения $\mu^*=2F/\left[(M+m_1+m_2)g\right]$, при котором брусок не сможет сдвинуться, но есть особенность в анализе соотношения частот колебаний сил $f_1$ и $f_2$…
Фигуры Лиссажу
При любых ли частотах достигается максимум $2F$ действия на брусок? Поможет фигура Лиссажу.
В системе перпендикулярных осей, где по одной оси откладывается значение $f_1$, а по другой — значение $f_2$ в процессе колебаний удобно вывести критерий достижения максимума $2F$.
Посмотрим на следующий рисунок, где показано начало вырисовывания фигуры Лиссажу для наугад подобранного соотношения частот колебаний $\omega_1:\omega_2=1:\pi$.
