12.2.10. Изобразите на графике зависимость интенсивности света в точке $A$ от радиуса отверстия, перекрывающего параллельный поток излучения с длиной волны $\lambda$. Расстояние от точки $A$ до центра отверстия $b$. Интенсивность излучения в потоке $I$.
Решение
В условии неточность. Правильно: "...от радиуса отверстия в плоскости, перекрывающей параллельный поток излучения..."
Авторский график неверный, вот мой вариант:
Для $b=10\lambda$
При $R \to 0$ отверстие работает как точечный источник вторичных волн. Интенсивность близка к нулю и медленно увеличивается.
По мере роста $R$ мы получаем классическую задачу о дифракции Френеля на отверстии. Её принято решать так: плоский фронт разбивается на кольцевые зоны так, что расстояния от границ зон до точки $A$ отличаются на $\lambda/2$:
Наш случай с плоской волной проще
Найдём радиусы зон Френеля:
$$\sqrt{r_m^2 + b^2} - b = \frac{m\lambda}{2} \tag{1}$$$$r_m =\sqrt{mb\lambda+\left(\frac{m\lambda}{2}\right)^2}\approx \sqrt{mb\lambda}, \quad m \in Z \tag{2}$$
Когда радиус отверстия совпадает с границей нечётной зоны $(\sqrt{b\lambda}, \sqrt{3b\lambda} )$ ,вторичные волны приходят в фазе, поэтому в точке A амплитуда удваивается, а интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды, равна $4I$.
Когда же отверстие закрывает чётное число зон (граница совпадает с концом второй, четвёртой и т.д. зоны), волны от соседних зон приходят в противофазе и гасят друг друга, давая почти ноль интенсивности (дифракционный минимум).
По мере дальнейшего увеличения $R$ радиус отверстия перекрывает всё больше зон. Амплитуда постепенно уменьшается: максимумы становятся всё ближе к $I$, а минимумы перестают достигать нуля. Это происходит потому, что вклад далёких зон Френеля меньше вклада ближних.
В пределе больших $R$ (геометрическая оптика) всё падающее излучение беспрепятственно проходит, и интенсивность в точке A стремится к $I$
Итоговая зависимость — это медленно затухающие колебания, начинающиеся от нуля и асимптотически приближающиеся к $I$.
