Решение

Закон изменения

По закону Гука

$$F=k\Delta=k(x_2-x_1),$$

что дает

$$F=k[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)].\tag{1}$$

по формуле среднего значения функции [1, 2]

$$\bar F=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)dt$$

убеждаемся, что за период колебаний $\bar F=0$, как и положено.

По какому закону меняется разность (сумма) гармонических функций, как в скобках $(1)$? Здесь можно использовать векторные диаграммы (обоснование, например, в середине статьи [3]). Например, колебанию $x_1$ можно сопоставить вращение вектора длиной $A_1$ из начала координат системы $xOy$. Проекция этого вектора на ось $x$ дает значение $x_1$ в любой момент времени. Нариcуем в момент времени $t=0$ два вектора длинами $A_1,A_2$ с углами к оси $x$ соответственно $\varphi_1,\varphi_2$. Вычтем их на чертеже и получим новый вектор $A_{12}$ из начала. Этот вектор вращается одновременно вместе с векторами длин $A_1,A_2$ (частота вращения векторов $\omega$ одинакова), значит в любой момент он показывает результат вычитания векторов $A_1,A_2$. При постоянных $A_1,A_2$ вектор $A_{12}$ постоянен, вращается в той же частотой $\omega$ — значит, проекция на ось $x$ этого вектора меняется гармонически. Результат вычитания (сложения) гармонических функций одной частоты(!) есть гармоническая функция. Это — геометрический способ объяснения.

Поэтому сила $F$ меняется гармонически. Это уже хорошо показывает равенство нулю ее среднего значения за период.

Максимальная энергия

Также можно применить геометрические соображения. На этот раз на тригонометрическом круге.

Проекции векторов $A_1,A_2$ на ось $x$ дают $x_1,x_2$ в любой момент времени.

Максимальная энергия будет при максимуме проекции разности векторов на ось $x$ (см. свойства векторов [4]). Разность векторов есть вектор, соединяющий концы показанных векторов. А максимум проекции такого вектора на ось $x$ будет тогда, когда он установится параллельно оси $x$ и будет равен самой разности векторов. Это возможно, так как вращение векторов похоже на вращение твердой конструкции.

Квадрат разности векторов $A_1,A_2$ по чертежу по теореме косинусов

$$[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)],$$

что дает максимум энергии

$$E_\text{m}=\frac{k}{2}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].$$

Средняя энергия

Закон для энергии

$$E=\frac{k}{2}\left[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)\right]^2.\tag{2}$$

Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to0$) есть среднее правой части формулы $(2)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.

$$\langle E\rangle=\langle E_1\rangle+\langle E_2\rangle+\langle E_3\rangle,$$

где $\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle$ есть слагаемые правой части $(2)$ после раскрытия квадрата.

Первое слагаемое:

$$\langle E_1\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega t+\varphi_2)\rangle$$

равно

$$\boxed{\langle E_1\rangle=\frac{k}{2}A_2^2\frac{1}{2}}$$

(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

Второе слагаемое:

$$\langle E_2\rangle=\langle kA_2\cos(\omega t+\varphi_2)A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\rangle$$

преобразуем с использованием тригонометрической формулы [5]

$$2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)$$

в

$$\langle E_2\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2A_1\left[\cos\left(2\omega t+\varphi_2+\varphi_1\right)+\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right)\right]\rangle.$$

Оно равно

$$\boxed{\langle E_2\rangle\frac{k}{2}A_2A_1\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right).}$$

(использовали свойство среднего суммы и что среднее значение косинуса равно $0$).

Третье слагаемое:

$$\langle E_3\rangle=\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega t+\varphi_1)\rangle$$

равно

$$\boxed{\langle E_3\rangle=\frac{k}{2}A_1^2\frac{1}{2}}$$

(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

В итоге сложим слагаемые энергии в рамках в ответ

$$\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].$$

Не сложно понять, что при $\varphi_2-\varphi_1 = \pi$ средняя энергия принимает наибольшее значение, при $\varphi_2-\varphi_1 = 0$ — наименьшее.