Решение

Из закона сохранения магнитного потока:
$$LxI_0 = Ll I$$
$$I = I_0 \frac{x}{l}$$
Сила, действующая на пластинку:
$$m \frac{d \upsilon'}{dt} = \frac{\partial U}{\partial l}$$
Производная энергии магнитного поля по расстоянию равна:
$$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 \mathcal {L}$$
$$\mathcal {L} = Ll$$
$$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 L$$
Подставим выражения для силы тока:
$$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{1}{l^2}$$
Теперь вернемся к левой части 2-го закона Ньютона:
$$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}\frac {d l}{d t}$$
$$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}(\upsilon' - \upsilon)$$
Вернемся к началу, подставим все значения и проинтегрируем:
$$\int_0^{\upsilon_{max}}(\upsilon' - \upsilon)d \upsilon' = \int_0^\infty \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{dl}{l^2}$$
Получаем квадратное уравнение:
$$\frac{1}{2}\upsilon_{max}^2 - \upsilon \upsilon_{max} - \frac{1}{2} I_0^2 xL = 0$$
И находим ответ:
$$\upsilon_{max} = \upsilon(1 + \sqrt{1 + \frac{I_0^2 x L}{m \upsilon^2}})$$