Молекулу углекислого газа ($CO_2$) можно смоделировать как систему из трех тел: центрального атома массы $m$ (углерод) и двух крайних атомов массы $M$ (кислород), соединенных двумя одинаковыми пружинками с жесткостью $k$.
\textbf{1. Переход в систему отсчета центра масс (Ц-систему)}
Найдем скорость центра масс молекулы в лабораторной системе отсчета после того, как левому атому кислорода сообщили скорость $v$: $$V_{cm} = \frac{Mv}{2M + m}$$
Перейдем в инерциальную Ц-систему. В ней скорости атомов сразу после толчка равны: \begin{itemize} \item Скорость левого $O$:$v_1 = v - V_{cm} = \frac{v(M+m)}{2M+m}$ \item Скорость центрального $C$:$v_c = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$ \item Скорость правого $O$:$v_2 = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$ \end{itemize}
\textbf{2. Разложение на нормальные моды}
Представим движение системы как суперпозицию двух независимых нормальных колебаний: \begin{enumerate} \item \textbf{Симметричная мода:} крайние атомы движутся в противофазе со скоростями $u_1$ и $-u_1$, центральный атом покоится. Циклическая частота: $\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{M}}$. \item \textbf{Асимметричная мода:} крайние атомы движутся синхронно со скоростью $u_2$, центральный атом движется им навстречу со скоростью $u_c$. Циклическая частота (с учетом приведенной массы): $\omega_2 = \sqrt{\frac{k(2M+m)}{mM}}$. \end{enumerate}
\textbf{3. Определение начальных амплитуд мод}
Из принципа суперпозиции реальные начальные скорости в Ц-системе равны сумме скоростей мод: \begin{align*} u_1 + u_2 &= \frac{v(M+m)}{2M+m} \quad \text{(для левого O)} \ -u_1 + u_2 &= -\frac{Mv}{2M+m} \quad \text{(для правого O)} \end{align*}
Вычитая уравнения, находим начальную скорость для симметричной моды: $$2u_1 = v \implies u_1 = \frac{v}{2}$$ Складывая уравнения, находим скорость крайних атомов для асимметричной моды: $$u_2 = \frac{mv}{2(2M+m)}$$ Скорость центрального атома во второй моде равна его полной скорости в Ц-системе: $$u_c = -\frac{Mv}{2M+m}$$
\textbf{Амплитуда симметричной моды ($A_1$):} \ Скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде равна $v_{rel1} = u_1 = \frac{v}{2}$. $$A_1 = \frac{v_{rel1}}{\omega_1} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}}$$
\textbf{Амплитуда асимметричной моды ($A_2$):} \ Относительная скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде: $$v_{rel2} = u_2 - u_c = \frac{mv}{2(2M+m)} - \left(-\frac{Mv}{2M+m}\right) = \frac{v(m+2M)}{2(2M+m)} = \frac{v}{2}$$ $$A_2 = \frac{v_{rel2}}{\omega_2} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}}$$
\textbf{4. Максимальное сближение}
Поскольку частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ несоизмеримы, в некоторый момент времени фазы колебаний совпадут, и амплитуды сжатия левой пружинки от обеих мод сложатся. Максимальное сближение равно сумме амплитуд: $$\Delta x_{max} = A_1 + A_2 = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} + \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}}$$