Решение

Условие

$3.5.1.$ Маятник массы $m$ подвергается кратковременным ударам, за каждый из которых ему передается импульс $p_0$. Постройте график движения маятника, если известно, что вначале он покоился, что затухания колебаний нет, а удары следуют друг за другом через промежутки времени $T_0$ и $T_0/2$ ($T_0$ — период свободных колебаний маятника).

Решение

Случай 1: Удары следуют через промежутки времени $T_0$
Когда удары следуют друг за другом через время $T_0$, каждый последующий удар происходит ровно в тот момент, когда маятник проходит положение равновесия, двигаясь в первоначальном направлении. Следовательно, каждый удар увеличивает импульс маятника на величину $p_0$.
Для приращений максимальной скорости и максимального смещения (амплитуды) после каждого удара можно записать:
$$\Delta v_{\max} = \frac{p_0}{m}, \quad \Delta x_{\max} = \frac{p_0}{m\omega}$$
Таким образом, график движения маятника в этом случае представляет собой набор синусоидальных участков с возрастающими амплитудами: $\frac{p_0}{m\omega}, \frac{2p_0}{m\omega}, \dots$ (это соответствует верхнему графику в ответе, где огибающая образует прямую линию).

Случай 2: Удары следуют через промежутки времени $T_0/2$
Когда удары следуют друг за другом через время $T_0/2$ (то есть ровно через полпериода), маятник возвращается в положение равновесия, но его скорость направлена навстречу следующему удару.
В результате после каждого четного удара импульс маятника полностью обнуляется (удар гасит движение), а после каждого нечетного удара мы получаем одно и то же движение с первоначальной амплитудой $\frac{p_0}{m\omega}$.
Следовательно, на графике движения маятника мы получаем набор одинаковых изолированных синусоидальных полуволн (это соответствует нижнему графику в ответе).