Решение

Молекулу углекислого газа ($CO_2$) можно смоделировать как систему из трех тел: центрального атома массы $m$ (углерод) и двух крайних атомов массы $M$ (кислород), соединенных двумя одинаковыми пружинками с жесткостью $k$.

1. Переход в систему отсчета центра масс (Ц-систему)

Найдем скорость центра масс молекулы в лабораторной системе отсчета после того, как левому атому кислорода сообщили скорость $v$:
$$V_{cm} = \frac{Mv}{2M + m}$$

Перейдем в инерциальную Ц-систему. В ней скорости атомов сразу после толчка равны:

• Скорость левого $O$: $v_1 = v - V_{cm} = \frac{v(M+m)}{2M+m}$
• Скорость центрального $C$: $v_c = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
• Скорость правого $O$: $v_2 = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$

2. Разложение на нормальные моды

Система из трех тел на одной прямой имеет $3$ степени свободы. Вычитая $1$ степень свободы, отвечающую за поступательное движение всей молекулы, получаем ровно $2$ внутренние степени свободы. Следовательно, любое внутреннее движение системы можно представить как суперпозицию строго двух независимых нормальных колебаний. Чтобы в каждой моде центр масс оставался неподвижным, они должны иметь следующий вид:

1. Симметричная мода: крайние атомы движутся в противофазе со скоростями $u_1$ и $-u_1$, центральный атом покоится. Циклическая частота: $\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{M}}$.
2. Асимметричная мода: крайние атомы движутся синхронно со скоростью $u_2$, центральный атом движется им навстречу со скоростью $u_c$. Циклическая частота (с учетом приведенной массы): $\omega_2 = \sqrt{\frac{k(2M+m)}{mM}}$.

3. Определение начальных амплитуд мод

Из принципа суперпозиции реальные начальные скорости в Ц-системе равны сумме скоростей мод.
Для левого O:
$$u_1 + u_2 = \frac{v(M+m)}{2M+m}$$
Для правого O:
$$-u_1 + u_2 = -\frac{Mv}{2M+m}$$

Вычитая уравнения, находим начальную скорость для симметричной моды:
$$2u_1 = v \implies u_1 = \frac{v}{2}$$
Складывая уравнения, находим скорость крайних атомов для асимметричной моды:
$$u_2 = \frac{mv}{2(2M+m)}$$
Скорость центрального атома во второй моде равна его полной скорости в Ц-системе:
$$u_c = -\frac{Mv}{2M+m}$$

Амплитуда симметричной моды ($A_1$):
Скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде равна $v_{rel1} = u_1 = \frac{v}{2}$.
$$A_1 = \frac{v_{rel1}}{\omega_1} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}}$$

Амплитуда асимметричной моды ($A_2$):
Относительная скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде:
$$v_{rel2} = u_2 - u_c = \frac{mv}{2(2M+m)} - \left(-\frac{Mv}{2M+m}\right) = \frac{v(m+2M)}{2(2M+m)} = \frac{v}{2}$$
$$A_2 = \frac{v_{rel2}}{\omega_2} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}}$$

4. Максимальное сближение

Поскольку частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ несоизмеримы, в некоторый момент времени фазы колебаний совпадут, и амплитуды сжатия левой пружинки от обеих мод сложатся. Максимальное сближение равно сумме амплитуд:
$$\Delta x_{max} = A_1 + A_2 = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} + \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}}$$