Решение

Пронумеруем стержни индексом $i=1,2$. Для $i$-го стержня обозначим через $l_i$ его длину, через $\rho_i$ плотность, через $c_i$ скорость распространения продольной волны, через $u_i$ начальную скорость вдоль лабораторной оси $x$, а через $E_i$ модуль Юнга. Площадь одинакового сечения стержней обозначим через $S$. Выберем направление оси так, что $u_1>u_2$. После возникновения волн соприкасающиеся участки движутся с общей скоростью $U$, причём $u_1>U>u_2$.

Рассмотрим малый промежуток времени $\Delta t$. Фронт волны проходит в $i$-м стержне расстояние $c_i\Delta t$, а пройденный волной участок укорачивается на $|u_i-U|\Delta t$. Поэтому модуль продольной деформации $\varepsilon_i$ этого участка равен

$$|\varepsilon_i| =\frac{|u_i-U|\Delta t}{c_i\Delta t} =\frac{|u_i-U|}{c_i}.$$

Обозначим через $F_i$ модуль силы сжатия $i$-го стержня. По закону Гука $F_i=SE_i|\varepsilon_i|$. Покажем, откуда берётся нужная связь скорости волны с упругостью стержня. За время $\Delta t$ волна охватывает массу $\rho_iSc_i\Delta t$ и изменяет её скорость на $|u_i-U|=c_i|\varepsilon_i|$. По второму закону Ньютона импульс силы равен изменению импульса этой массы:

$$E_i|\varepsilon_i|S\Delta t =\rho_iSc_i\Delta t\,c_i|\varepsilon_i|.$$

После сокращения одинаковых множителей получаем школьную связь для продольной волны

$$c_i^2=\frac{E_i}{\rho_i}.$$

Следовательно,

$$F_i=SE_i|\varepsilon_i| =S\rho_i c_i|u_i-U|.$$

По третьему закону Ньютона силы в месте контакта равны. С учётом $u_1>U>u_2$ имеем

$$\rho_1c_1S(u_1-U)=\rho_2c_2S(U-u_2),$$

откуда

$$U=\frac{\rho_1c_1u_1+\rho_2c_2u_2} {\rho_1c_1+\rho_2c_2}.$$

Из условия $l_1/l_2=c_1/c_2$ следует $l_1/c_1=l_2/c_2$. Обозначим это общее время прохождения волной стержня через $\tau$:

$$\tau=\frac{l_1}{c_1}=\frac{l_2}{c_2}.$$

Значит, волны сжатия одновременно достигают свободных концов, а отражённые волны растяжения одновременно возвращаются к месту контакта.

На расчётном чертеже $t$ обозначает время, а $\xi$ — координату, отсчитываемую вдоль недеформированных стержней. Поэтому их свободные концы изображены при $\xi=-l_1$ и $\xi=l_2$.

У свободного конца сила равна нулю. Поэтому отражённая волна растяжения снимает деформацию, а вызванное ею изменение скорости равно по величине и совпадает по направлению с изменением скорости в падающей волне. Обозначим конечную скорость $i$-го стержня через $v_i$. После возвращения отражённых волн стержни снова не деформированы, и

$$v_1=2U-u_1, \qquad v_2=2U-u_2.$$

Подставляя найденную скорость $U$, получаем

$$v_1=\frac{(\rho_1c_1-\rho_2c_2)u_1+2\rho_2c_2u_2} {\rho_1c_1+\rho_2c_2}, \qquad v_2=\frac{2\rho_1c_1u_1+(\rho_2c_2-\rho_1c_1)u_2} {\rho_1c_1+\rho_2c_2}.$$

Обозначим массу $i$-го стержня через $m_i$. Поскольку $m_i=\rho_iSl_i$, условие на длины даёт

$$\frac{m_1}{m_2} =\frac{\rho_1l_1}{\rho_2l_2} =\frac{\rho_1c_1}{\rho_2c_2}.$$

Следовательно, конечные скорости можно записать так:

$$v_1=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2}, \qquad v_2=\frac{2m_1u_1+(m_2-m_1)u_2}{m_1+m_2}.$$

Это в точности формулы лобового абсолютно упругого удара. Кроме того, $v_2-v_1=u_1-u_2>0$, поэтому после возвращения отражённых волн стержни расходятся и контакт прекращается.