В тепловом манометре давление газа определяют по температуре теплового элемента, на котором в единицу времени выделяется всегда одно и то же количество теплоты. На рисунке приведен график зависимости температуры элемента от давления азота. Как, пользуясь этим графиком, получить аналогичную кривую для водорода?
Решение:
Мощность теплоотдачи с поверхности нагревателя определяет его установившуюся температуру $T$. Мощность теплоотвода за счет теплопроводности газа пропорциональна коэффициенту теплопроводности $\varkappa$ и разности температур: $$Q = \alpha \varkappa (T - T_0)$$ где $T_0$ — температура окружающей среды, $\alpha$ — геометрический коэффициент.
В области низких давлений (длина свободного пробега молекул больше размеров сосуда) коэффициент теплопроводности газа пропорционален давлению $P$ и средней тепловой скорости молекул $\langle v \rangle$: $$\varkappa \sim n \langle v \rangle \sim P \sqrt{\frac{1}{M}}$$ где $M$ — молярная масса газа.
Следовательно, равная температура элемента $T$ (и одинаковый теплоотвод) достигается при условии одинаковой теплопроводности газа: $$\varkappa_{\mathrm{N_2}} = \varkappa_{\mathrm{H_2}} \implies P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{N_2}}}} = P_{\mathrm{H_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{H_2}}}}$$
Отсюда связь между давлениями водорода и азота при одинаковой температуре $T$: $$P_{\mathrm{H_2}} = P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}}$$
Молярные массы азота $\mathrm{N_2}$ и водорода $\mathrm{H_2}$: $$M_{\mathrm{N_2}} = 28\,\mathrm{г/моль},\qquad M_{\mathrm{H_2}} = 2\,\mathrm{г/моль}$$
Коэффициент масштабирования по оси давлений: $$\sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}} = \sqrt{\frac{2}{28}} = \sqrt{\frac{1}{14}} \approx 0.267$$
Ответ:
Чтобы получить кривую для водорода, нужно сжать график по оси абсцисс (оси давления $P$) в $\sqrt{M_{\mathrm{N_2}}/M_{\mathrm{H_2}}} = \sqrt{14} \approx 3.74$ раза (или умножить все значения давления $P$ на графике на $\approx 0.267$), оставив значения температуры $T$ без изменений.
