Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
    	$2.2.20.$ Где находится центр масс: однородного прута, согнутого посередине под прямым углом? однородной треугольной пластинки? гардеробного номерка в виде диска с круглым отверстием?
    </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="statement.png"
          loading="lazy" width="120" />
        <figcaption>
            К задаче 2.2.20
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

		<h3> Решение: </h3>
    <p>
        a) Найдем центр масс прямого угла
    </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="draw.png"
          loading="lazy" width="180" />
        <figcaption>
            Центр масс прямого угла
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
  <p>
    Центр масс будет отстаять от вершины угла по вертикали и горизантали на
    $$x_c =y_c = \frac{L}{4}$$
    Откуда расстояние до вершины угла 
    $$l = L \frac{\sqrt{2}}{4}$$
  </p>
    <p>
        b) Перейдем к равностороннему треугольнику
    </p>

    <center>
      <figure>
        <img src="draw1.png"
          loading="lazy" width="175" />
        <figcaption>
            Центр масс равностороннего треугольника
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
        Центр масс будет отстаять от каждой стороны на величину
        $$x_c = \frac{0 \cdot \frac{m}{3} + \frac{l}{6}\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{m}{3}\cdot 2}{m}$$
        $$x_c = \frac{l}{6\sqrt{3}}$$
        И эта точка будет являться <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Centroid" target="_blank">центроидом</a> треугольника
    </p>
    <p>
        c) Чтобы найти центр масс номерка, представим номерок как суперпозицию диска с поверхностной плотностью $\sigma$ на которого наложили диск с отрицательной плотностью $-\sigma$
    </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="draw2.png"
          loading="lazy" width="250" />
        <figcaption>
            Центр масс номерка
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
        Найдем расстояния центра масс от центра номерка
        $$x_c = \frac{0 \cdot \sigma R^2 - d \sigma r^2}{\sigma R^2 - \sigma r^2}$$
        Таким образом, расстояние на котором будет находиться центр масс номерка
        $$l = d \frac{r^2}{R^2 - r^2}$$
    </p>
  
    <h4>
    	Ответ: 
    </h4>
    <p>На биссектрисе угла на расстоянии $l = L \sqrt{2}/4$, где $L$ — длина половины прута; 
    </p>
    <p>
        в точке пересечения медиан; 
    </p>
    <p>
        на прямой, соединяющей центры диска и отверстия, на расстоянии $l = dr^2/(R^2 − r^2)$ от центра диска.
    </p>
    <br>

<footer class="row container">
    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
    </p>
</footer>