2.2.1 | до правки #5804 | Решения Савченко

Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.2.1.$ Частица массы $m$ движется со скоростью $v$, а частица массы $2m$ движется со скоростью $2v$ в направлении, перпендикулярном направлению движения первой частицы. На каждую частицу начинают действовать одинаковые силы. После прекращения действия сил первая частица движется со скоростью $2v$ в направлении, обратном первоначальному. Определить скорость второй частицы.
   </p>
  <h3> Решение: </h3>

В начале, рассмотрим действие силы на 1-ю частицу. По условию известно, что она стала двигаться в противоположном направлении первоначальному. Следовательно, сила действовала навстречу движения частицы. Тогда импульс силы в направлении действия силы (ось $$x$$ )

F \cdot \Delta t = m2v – (-mv) = 3mv

Теперь рассмотрим движение второй частицы. Сила действует перпендикулярно к ее движению, следовательно, скорость останется по-прежнему $$2v$$ в направлении своего первоначального движения. С другой стороны, действующая сила сообщит частице массой $$2m$$ скорость в направлении своего действия. Импульс силы

F \cdot \Delta t = 2mv_x – 0 = 2mv_x

или

$2mv_x = 3mv$

, откуда

v_x = \frac{3}{2}v

Сделаем вывод: вторая частица имеет свою первоначальную скорость $$2v$$ в направлении своего первоначального движения и $v_x = \frac{3}{2}v$ , приобретенную под действием силы – направленную перпендикулярно к скорости $$2v$$ .

Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем искомую скорость

V = \sqrt{\frac{9}{4}v^2 + 4v^2} = \frac{5}{2}v

Примечание: вектор скорости второй частицы имеет направление которое можно определить из соотношения $tg\alpha = \frac{v_x}{2v} = \frac{3}{4}$ , что дает угол $36,87^{\circ}$ к первоначальному своему направлению.

Альтернативное решение

Изменение импульса первой частицы: $$m(2v-(-v)) = 3mv$$

Такое же изменение импульса будет и у второй частицы так как $\Delta p = F\Delta t$

Так как начальный импульс второй частицы перпендикулярен первой, тогда для сложения импульсов воспользуемся теоремой Пифагора: $p_2 = \sqrt{(4mv)^2+(3mv)^2} = 5mv$

Тогда её скорость: $$v_2 = p_2 / 2m = 2.5v$$

     <h3> Ответ: </h3>
     <p>
        $$V = \frac{5}{2}v$$
     </p>


<footer class="row container">
<br>
<p>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> aliaksandr@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>