<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.22.$ Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость $v$, снова будет равна $v$? Коэффициент трения $\mu$, угол между плоскостью и горизонтом $\alpha$, $\tan \alpha > \mu$
    </p>

  <h3> Решение: </h3>

    <center>
      <figure>
        <img src="sol.png"
          loading="lazy" width="350" />
        <figcaption>
            Силы действующие на тело
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

    <p>
      Тело на наклонной плоскости находится под действием трёх сил: силы тяжести $\vec{F}_{1} = m \vec{g}$, силы трения $\vec{F}_{2} = - \mu mg$ и нормальной реакции связи $\vec{N}$, однако, при дальнейшем рассмотрении движения нормальную реакцию можно не рассматривать, т.к. её проекция на горизонтальную ось, вдоль которой движется тело, равна нулю.  
    </p>
    <p>
      Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось ОХ при движении тела вверх в векторной форме запишется следующим образом  
      $$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = m \vec{a}$$ 
      Определим проекции действующих сил на ось ОХ и запишем уравнение второго закона Ньютона  
      $$F_{1x} = mg \sin \alpha, F_{2x} = \mu mg \cos \alpha$$ 
      $$\mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha = ma$$  
      Поделим обе части последнего уравнения на массу $m$ и выразим величину ускорения  
      $$a = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$$
      Время движения тела вверх $t_1$ определится из условия равенства нулю скорости в конце подъёма  
      $$0 = v_{0} - at \Rightarrow t_{1} = \frac{v_{0} }{a} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }$$ 
      Движению тела вниз соответствует уравнение  
      $$mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma$$ 
      $$a = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )$$
      Скорость станет равной $v_0$ только в конце спуска, потому как закона сохранения энергии никто не отменял, поэтому  
      $$\frac{dv}{dt} = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha  )$$
      $$\int_{0}^{v_{0} } dv = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) = \int_{0}^{t_{2} } dt$$ 
      $$t_{2} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha  ) }$$ 
      Искомое время определится в виде суммы $t = t_{1} + t_{2}$
      $$\boxed{t = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}}$$
     </p>

    <h3>
        Ответ: 
    </h3>
    <p>
      $$t = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}$$
     </p>
     
<footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>