Solutions of Savchenko Problems in Physics knowledge must be free
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.2.33^*.$ Внутри сферы радиуса $R$ со скоростью $v$ движется частица массы $m$, упруго ударяясь о ее стенки. Скорость частицы образует угол $α$ с радиусом, проведенным в точку удара. Какова по модулю средняя сила, действующая со стороны стенок сферы на частицу? Какова средняя сила, действующая на единицу площади сферы, если в единице объема содержится $N$ таких частиц? Частицы между собой не сталкиваются.
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="130" />
<figcaption>
К задаче 2.2.33
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Импульс, который передает частица найдем как
$$dp = 2mv\cos \alpha$$
Путь, который пройдет частица между двумя последовательными ударами
$$x = 2R\cos \alpha$$
Таким образом время между двумя последовательными ударами
$$dt = \frac{x}{v} = \frac{2R\cos \alpha}{v}$$
Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме
$$F = \frac{dp}{dt} = 2mv\cos \alpha \frac{v}{2R\cos \alpha}$$
$$\boxed{F = \frac{mv^2}{R}}$$
Количество частиц в единице объема обозначим за $N$, тогда количество частиц в сфере радиуса $R$ составляет
$$n = \frac{4}{3} \pi r^3 N \quad\text{(1)}$$
Общая сила действующая на стенки сферы:
$$F = n\frac{mv^2}{R} \quad\text{(2)}$$
А давление по определию - сила, действующая на единицу площади
$$
p = \frac{F}{4\pi R^2}
$$
Подставляем $\text{(1)}$ и $\text{(2)}$
$$
p = \frac{4}{3} \pi r^3 N \frac{mv^2}{4\pi R^3}
$$
$$\boxed{p = \frac{Nmv^2}{3}}$$
</p>
<h4>
Ответ:
</h4>
<p>$$F = \frac{mv^2}{R}$$
$$p = F/S = \frac{Nmv^2}{3}$$</p>
Savchenko Solutions