Доска массы m лежит на двух катках, вращающихся с большой скоростью навстречу друг другу. Расстояние между осями катков L, коэффициенттрения при скольжении доски по катку \mu . Найдите частоту продольных колебаний доски.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.2.14.$ Доска массы $m$ лежит на двух катках, вращающихся с большой скоростью навстречу друг другу. Расстояние между осями катков $L$, коэффициент

трения при скольжении доски по катку $\mu$. Найдите частоту продольных колебаний доски.

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        </p>

Второй закон Ньютона для горизонатальной оси $$ma=F_{fr1}-F_{fr2}$$ Условие равновесия для вертикальной оси $$mg=N_1+N_2\quad(1)$$ В условии равновесия, сумма момента внешних сил, должна быть равна нулю $$N_1\left(\frac{l}{2}-x\right)-N_2\left(\frac{l}{2}+x\right)=0$$ Откуда сила реакции на вторую опору $$N_2=N_1\left(\frac{L/2-x}{L/2+x}\right)$$ Подставляем в $(1)$ $$mg=N_1\left(1+\frac{L/2-x}{L/2+x}\right)$$ $$N_1=mg\left(\frac{L/2+x}{L}\right);\quad N_2=mg\left(\frac{L/2-x}{L}\right)$$ Второй закон Ньютона для горизонтальной оси $$m\ddot{x}=\mu N_2-\mu N_1= - \mu mg \frac{2x}{L}\quad(2)$$ Преобразуем полученное выражением и получаем уравнение гармонических колебаний $$\ddot{x}(t)+\frac{2\mu g}{l}x(t)=0$$ Откуда угловая частота колебаний $$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{2\mu g}{l}}}$$

	  <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
		  Dzikan Mikita<br>
        Aliaksandr Kanashenka<br>
    </p>

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$\omega=\sqrt{\frac{2\mu g}{l}}$$
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>