В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#9.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $9.1.8^*.$ В однородном магнитном поле индукции $B$ находится квадратная рамка с током. Масса рамки $m$, ток в ней $I$. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси $OO^\prime$

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Рассмотрим малое отклонение от равновесия на угол $\alpha$: </p><p>

Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля:
$$M = BIS\cdot \sin\alpha = BIa^2 \sin\alpha$$
где $a$ — сторона рамки

сила тяжести не создает момента так как проходит через точку вращения

Из основного уравнения вращательного движения:
$$J\ddot{\alpha} = \sum\pm{M_i}$$
для нашего случая:
$$J\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha\quad (1)$$
теперь найдём момент инерции $J$ рамки при наблюдаемых колебаниях

Момент инерции верхней и нижней стороны рамки составляет
$$J_1=J_2 = \frac{m}{4}\cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{m a^2}{16}\quad (2)$$
где $a/2$ — расстояние до этой стороны.

Момент инерции боковых сторон:
$$J_3 = J_4 = \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{4}\cdot a^2 = \frac{m a^2}{48}\quad (3)$$
Находим момент инерции $J$, подставляя $(2)$ и $(3)$
$$J = J_1 + J_2 + J_3 + J_4$$
$$J = 2\cdot \frac{m a^2}{16} + 2 \cdot \frac{m a^2}{48} = \frac{m a^2}{6}$$
тогда уравнение $(1)$ будет иметь вид:
$$\frac{m a^2}{6}\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha$$
$$\ddot{\alpha} = -\frac{6BI}{m} \alpha(t)$$
Решая уравнение гармонических колебаний, находим укловую частоту
$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{6BI}{m}}}$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$\omega = \sqrt{\frac{6BI}{m}}$$
    </p>
	<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
      Andrei Yersh<br>
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>