| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime"> | | <meta name="description" content="В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime"> |
| <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka"> | | <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka"> |
| <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM"> | | <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM"> |
| <meta property="og:title" content="В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime"> | | <meta property="og:title" content="В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime"> | | <meta property="og:description" content="В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime"> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime</title> | | <title>В однородном магнитном поле индукции B находится квадратная рамка с током. Масса рамки m, ток в ней I. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси OO^\prime</title> |
| <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> |
| <div id="logo"> | | <div id="logo"> |
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> |
| </div> | | </div> |
| </a> | | </a> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> |
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | | <i><b>knowledge must be free</b></i> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#9.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#9.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие </h3> | | <h3> Условие </h3> |
| <p> | | <p> |
| $9.1.8^*.$ В однородном магнитном поле индукции $B$ находится квадратная рамка с током. Масса рамки $m$, ток в ней $I$. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси $OO^\prime$ | | $9.1.8^*.$ В однородном магнитном поле индукции $B$ находится квадратная рамка с током. Масса рамки $m$, ток в ней $I$. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси $OO^\prime$ |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="200" /> | | loading="lazy" width="200" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче $9.1.8^*$ | | К задаче $9.1.8^*$ |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3>Решение</h3> | | <h3>Решение</h3> |
| <p> | | <p> |
| Рассмотрим малое отклонение от равновесия на угол $\alpha$: </p><p> | | Рассмотрим малое отклонение от равновесия на угол $\alpha$: </p><p> |
| Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля: | | Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля: |
| $$M = BIS\cdot \sin\alpha = BIa^2 \sin\alpha$$ | | $$M = BIS\cdot \sin\alpha = BIa^2 \sin\alpha$$ |
| где $a$ — сторона рамки</p><p> | | где $a$ — сторона рамки</p><p> |
| сила тяжести не создает момента так как проходит через точку вращения</p><p> | | сила тяжести не создает момента так как проходит через точку вращения</p><p> |
| Из основного уравнения вращательного движения: | | Из основного уравнения вращательного движения: |
| $$J\ddot{\alpha} = \sum\pm{M_i}$$ | | $$J\ddot{\alpha} = \sum\pm{M_i}$$ |
| для нашего случая: | | для нашего случая: |
| $$J\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha\quad (1)$$ | | $$J\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha\quad (1)$$ |
| теперь найдём момент инерции $J$ рамки при наблюдаемых колебаниях</p><p> | | теперь найдём момент инерции $J$ рамки при наблюдаемых колебаниях</p><p> |
| Момент инерции верхней и нижней стороны рамки составляет | | Момент инерции верхней и нижней стороны рамки составляет |
| $$J_1=J_2 = \frac{m}{4}\cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{m a^2}{16}\quad (2)$$ | | $$J_1=J_2 = \frac{m}{4}\cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{m a^2}{16}\quad (2)$$ |
| где $a/2$ — расстояние до этой стороны.</p><p> | | где $a/2$ — расстояние до этой стороны.</p><p> |
| Момент инерции боковых сторон: | | Момент инерции боковых сторон: |
| $$J_3 = J_4 = \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{4}\cdot a^2 = \frac{m a^2}{48}\quad (3)$$ | | $$J_3 = J_4 = \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{4}\cdot a^2 = \frac{m a^2}{48}\quad (3)$$ |
| Находим момент инерции $J$, подставляя $(2)$ и $(3)$ | | Находим момент инерции $J$, подставляя $(2)$ и $(3)$ |
| $$J = J_1 + J_2 + J_3 + J_4 $$ | | $$J = J_1 + J_2 + J_3 + J_4 $$ |
