В однородном магнитном поле поместили прямоугольную рамку с током. Индукция магнитного поля B параллельна плоскости рамки. Площадь рамки $S$, ток в ней $I$. а) Докажите, что момент сил, действующий на рамку, $N = BM$, где $M = IS$ — магнитный момент рамки. б) Докажите, что момент сил, действующий на рамку в случае, когда индукция магнитного поля направлена так, как изображено на рисунке, равен $\vec{N} =[\vec{M} \times \vec{B} ]$ где $M$ — магнитный момент рамки, модуль которого равен $IS$, а направление перпендикулярно плоскости рамки.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#9.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $9.1.7.$ В однородном магнитном поле поместили прямоугольную рамку с током. Индукция магнитного поля B параллельна плоскости рамки. Площадь рамки $S$, ток в ней $I$. </p><p>

а) Докажите, что момент сил, действующий на рамку, $N = BM$, где $M = IS$ — магнитный момент рамки.

б) Докажите, что момент сил, действующий на рамку в случае, когда индукция магнитного поля направлена так, как изображено на рисунке, равен $\vec{N} =[\vec{M} \times \vec{B} ]$ где $M$ — магнитный момент рамки, модуль которого равен $IS$, а направление перпендикулярно плоскости рамки.

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        а) Момент сил будут создавать линии рамки перпендикулярные линиям магнитной индукции $B$. Пусть рамка имеет размеры $a$  на $b$ (для определённости, будем считать $b \bot B$), тогда момент силы Ампера будет составлять:

$$N = 2\cdot |\vec{Ib} \times \vec{B}|\cdot \frac{a}{2} = Ib \cdot B \cdot a$$

учитывая площадь рамки $(S = ab)$, то момент сил, действующий на рамку
$$\boxed{\boxed{N = IBS = BM}}$$

б) перпендикулярная компонента магнитной индукции $B_{\bot}$ будет направленно на растяжение рамки и не будет создавать момент силы $(N=0)$, между тем момент создаваемый $B_{|}$ составляет
$$N = B_{|}IS = BIS\sin\alpha=|\vec{IS} \times \vec{B}|$$
так как $\vec{N} = \vec{F} \times \vec{r}$, то будет справедливо, что $\vec{N} = \vec{IS} \times \vec{B}$, потому что направление момента перпендикулярно силе и плечу силы
$$\boxed{\boxed{\vec{N} = \vec{M} \times \vec{B}}}$$

Andrei Yersh

<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>