На линейный проводник длины $l$, расположенный перпендикулярно магнитному полю, действует сила $F$, если ток в проводнике равен $I$. С какой силой магнитное поле будет действовать на: а) изогнутый под углом $\varphi$ проводник длины $l + L$, если плоскость изгиба перпендикулярна магнитному полю, а ток в проводнике равен $I_1$ б) проводник в виде полуокружности радиуса $R$, по которому течет ток $I_2$, если плоскость полуокружности перпендикулярна магнитному полю?

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#9.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $9.1.3.$ На линейный проводник длины $l$, расположенный перпендикулярно магнитному полю, действует сила $F$, если ток в проводнике равен $I$. С какой силой магнитное поле будет действовать на: </p><p>
		а) изогнутый под углом $\varphi$ проводник длины $l + L$, если плоскость изгиба перпендикулярна магнитному полю, а ток в проводнике равен $I_1$ </p><p>
		б) проводник в виде полуокружности радиуса $R$, по которому течет ток $I_2$, если плоскость полуокружности перпендикулярна магнитному полю?

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        а) Из закона Ампера, находим индукцию магнитного поля $B$

$$F_1 = Il \cdot B \Rightarrow B = \frac{F}{Il}\quad(1)$$
при этом, чилы действующие на части провода с токами $I_1$ и $I_2$, соответсвенно
$$F_1 = I_1l \cdot B; \quad F_2 = I_1L\cdot B$$
Подставляем $(1)$:
$$F_1= \frac{I_1}{I}F; \quad F_2 = \frac{I_1L}{Il}F$$
Силу, действующую на изогнутый под углом $\varphi$ кусок провода, найдём из теоремы косинусов
$$|\overrightarrow{F_p}| = |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{{F_1}^2+{F_2}^2+2 F_1 F_2\cdot\cos \varphi}$$
$$\boxed{|\overrightarrow{F_p}| = F\frac{I_1}{I}\sqrt{1+\frac{L^2}{l^2} + 2\frac{L}{l}\cdot\cos \varphi}}$$
б) Для проводника из полуокружности, поспользуемся всё той же формулой для индукции магнитного поля $B$
$$B = \frac{F}{Il}$$
На малую часть проводника длиной $dl$, действует сила Ампера
$$dF = B I_2~dl = B I_2R~d\theta$$
Для нахождения силы $F$ проинтегрируем силы, действующие на каждую часть полукольца
$$F = \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta dF = BI_2R\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta ~d\theta$$
После математических преобразований, получаем силу действующую на полукольцо
$$\boxed{F = 2BI_2R = 2F\frac{I_2R}{Il}}$$

    </p>

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$F\frac{I_1}{I}\sqrt{1+\frac{L^2}{l^2} + 2\cos \varphi\frac{L}{l}};\quad2F\frac{I_2R}{Il}$$
    </p>
	<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
      Andrei Yersh<br>
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>