Во сколько раз уменьшится индукция магнитного поля в центре кольца с током, если его согнуть под углом \alpha? Ток в кольце не меняется.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#9.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $9.2.11.$ Во сколько раз уменьшится индукция магнитного поля в центре кольца с током, если его согнуть под углом $\alpha$? Ток в кольце не меняется.
    </p>

    <h3>Решение</h3>
    <p>

В 9.2.10 мы получили выражение для магнитной индукции в центре кольца $$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2R}\quad(1)$$ В силу суперпозиции, магнитная индукция в центре одного полукольца составит половину от этого значения: $$B_1 = B_2 = \frac{B_0}{2} = \frac{\mu_0 I}{4R}\quad(2)$$ Из чертежа, видно, что угол между векторами $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$ равен $\alpha$ $$(\vec{B_1},\vec{B_2})=\alpha$$ Суммарный вектор магнитной индукции равен векторной сумме компонент магнитной индукции двух колец $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$ $$\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$$ Модуль этого вектора найдем по теореме косинусов $$B = \sqrt{{B_1}^2 + {B_2}^2 - 2B_1 B_2 \cos\alpha}$$ Учитывая выражение $(2)$, суммарную магнитную индукцию найдём как $$B= \frac{\mu_0 I}{4R}\sqrt{2-2\cos\alpha} = \frac{\mu_0 I}{2R}\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\quad(3)$$ Разделив выражение $(3)$ на $(1)$, получаем искомое отношение $$\boxed{\frac{B}{B_0} = \sin\frac{\alpha}{2}}$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$\frac{B}{B_0} =\sin\frac{\alpha}{2}$$
    </p>
    <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
      Andrei Yersh<br>
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>