Четыре положительных заряда q, Q, q, Q связаны пятью нитями так, как показано на рисунке. Длина каждой нити l. Определите силу натяжения нити, связывающей заряды Q > q.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#6.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $6.1.10.$ Четыре положительных заряда $q, Q, q, Q$ связаны пятью нитями так, как показано на рисунке. Длина каждой нити $l$. Определите силу натяжения нити, связывающей заряды $Q > q$.

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Углы между нитями равны $60^{\circ}$ (равносторонние треугольники). Распишем проекции сил, действующих на $q$, на ось, параллельную отрезку $qq$:

$$F_{qq}+2F_{Qq} \cdot \cos{30 ^{\circ}}-2T_{Qq} \cdot \cos{30 ^{\circ}}=0$$
Сила электростатического взаимодействия между зарядами $q$ и $Q$ можно выразить через закон Кулона:
$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(2l\cos{30 ^{\circ}})^2}+2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{l^2} \cdot \cos{30 ^{\circ}}-2T_{Qq} \cdot \cos{30 ^{\circ}}=0$$
Из этого равенства выражаем силу натяжения нити $T_{Qq}$ между зарядами $q$ и $Q$
$$T_{Qq}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q(q+Q3\sqrt{3})}{3\sqrt{3}l^2}$$

Аналогично с $Q$ и осью $QQ$:
$$T_{QQ}+2T_{Qq} \cdot \cos{60 ^{\circ}}-2F_{Qq} \cdot \cos{60 ^{\circ}}-F_{QQ}=0$$
$$T_{QQ}+T_{Qq}-F_{Qq}-F_{QQ}=0$$
$$T_{QQ}=F_{Qq}+F_{QQ}-T_{Qq}$$
$$T_{QQ}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{l^2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{QQ}{l^2}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q(q+Q3\sqrt{3})}{3\sqrt{3}l^2}$$
$$T_{QQ}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{l^2}(Q^2-\frac{q^2}{3\sqrt{3}})$$

    </p>

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{l^2}\left(Q^2-\frac{q^2}{3\sqrt{3}}\right)$$
    </p>
    <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
      Artem Levko<br>
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>