Решение

Вся суть задачи переходить в инерциальную систему связанную со стенкой, грамотно расписывая относительную скорость.

$а)$ В случае когда стенка "догоняет" шарик, надо перейти в систему отсчета, в которой стенка покоится.

В этой системе отсчета относительная скорость шарика до удара равна

$$v_{0} + u$$

После упругого удара проекция скорости изменит знак: станет равной

$$(- v_{0} - u).$$

Если затем вернуться в первоначальную (лабораторную) систему отсчета, где стенка движется со скоростью $u$, то здесь скорость шарика

$${v}' = - v_{0} - 2u.$$

Изменение скорости в данном случае равно

$$\fbox{$\Delta v = {v}' - v_{0}$ $= - 2(v_{0} + u)$}$$

$б)$ Аналогично, надо перейти в систему отсчета, в которой стенка покоится.

В этой системе отсчета относительная скорость шарика до удара равна $v_{0} - w$. После упругого удара проекция скорости изменит знак: станет равной

$$(- v_{0} + w).$$

Если затем вернуться в первоначальную (лабораторную) систему отсчета, где стенка движется со скоростью $w$, то здесь скорость шарика

$${v}' = - v_{0} + 2w.$$

Изменение скорости в данном случае равно

$$\fbox{$\Delta v = {v}' - v_{0}$ $= - 2(v_{0} - w)$}$$