| @@ -1,9 +1,61 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $11.1.3.$ Металлический брусок, размеры которого $a×b×c$ ($b \ll a, c$), движется со скоростью $v$ в магнитном поле индукции $B$ так, как показано на рисунке. Найдите разность потенциалов между боковыми сторонами бруска и поверхностную плотность зарядов на них. |
| $11.1.3.$ Металлический брусок, размеры которого $a×b×c$ ($b \ll a, c$), движется со скоростью $v$ в магнитном поле индукции $B$ так, как показано на рисунке. Найдите разность потенциалов между боковыми сторонами бруска и поверхностную плотность зарядов на них. |
| |
| |
| |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Ответ: $V = vbB;$ $\sigma = \varepsilon_0vB$ |
| Как мы показали в [11.1.2](/ru/11.1.2), когда металлический брусок движется со скоростью \(v\) в магнитном поле \(B\), в нём возникает электромагнитная индукция. Электрическое поле, индуцированное внутри бруска, равно: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| E = vB \quad (1) |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Разность потенциалов между боковыми сторонами бруска можно найти через это электрическое поле: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| U=bE=vBb\quad(2) |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Так как \(b \ll a, c\), металлический брусок можно рассматривать как плоский конденсатор. Его ёмкость выражается через площадь боковой поверхности \(S = a \cdot c\): |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| C = \frac{\varepsilon_0S}{b}\quad(3) |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Используем определение заряда через ёмкость и напряжение: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| q = CU\quad(4) |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Находим $\sigma$ по определению поверхностной плотности заряда, разделив заряд $q$ на площадь боковой поверхности металлического бруска $a\times c$ |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| \sigma = \frac{q}{S} = \frac{CU}{S}=\frac{\varepsilon_0U}{b}\quad(5) |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Электрическое поле внутри бруска также можно выразить через поверхностную плотность заряда \(\sigma\): |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{U}{b}\quad(6) |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Подставляя \(\sigma = \varepsilon_0 E\) из $(6)$ в $(1)$, получаем: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| \sigma = \varepsilon_0 E = \varepsilon_0vB\quad(7) |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Приравнивания $(1)$ и $(6)$ получаем |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| E=\frac{U}{b}=vB\Rightarrow\boxed{ U=vbB}\quad(8) |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| ### Ответ: |
| |
| |
| |
| $$V = vbB;\quad\sigma = \varepsilon_0vB$$ |
