| @@ -1,44 +1,42 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.7.3.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.7.3.$ Маховик в виде кольца массы $m$ и радиуса $R$ с невесомыми спицами раскрутили до угловой скорости $\omega$. Из-за трения он остановился. Найдите момент силы трения, если маховик остановился через время $t$; если маховик до полной остановки сделал $N$ оборотов. |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | − | |
| | − | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | Момент силы трения найдём через второй закон Ньютона для вращательной динамики $(M = I \beta)$: |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | $$ |
| | + | M = \frac{I \omega}{t} = \frac{m \omega R^2}{t} \quad(1) |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | + | Т.к. маховик до полной остановки сделает $N$ полных оборотов, то он повернётся на угол |
| | | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | + | $$ |
| | + | \alpha = 2\pi N\quad(2) |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | + | Внешняя сила (сила трения) является постоянной, тогда угловое ускорение также будет оставаться постоянным и полностью остановится, повернувшись на угол $\alpha$ |
| | | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | + | $$ |
| | + | \alpha = 2\pi N = \frac{\omega^2}{2\beta}\quad(3) |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | + | Откуда угловое ускорение |
| | | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | + | $$ |
| | + | \beta = \frac{\omega^2}{4\pi N}\quad(4) |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | + | Подставляем угловое ускорение из $(4)$ в выражение для момента силы трения $(M = I \beta)$ |
| | | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | + | $$ |
| | + | M = \frac{m\omega^2R^2}{4\pi N}\quad(5) |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$ |
| | + | M=mR^{2}\omega/t;\quad M=mR^{2}\omega^{2}/(4\pi N). |
| | + | $$ |
