Решение

Плоское движение обруча состоит из поступательногр движения центра масс $C$ с линейной скоростью $v$ и вращения обруча вокруг центра масс с угловой скоростью $\omega$.

Общая кинетическая энергия обруча $K$ суммируется из двух частей:

$$K = K_{\text{translation}} + K_{\text{rotational}} = \frac{mv^2}{2} + \frac{1}{2} J_C \omega^2,$$

где $J_C = \frac{mR^2}{2}$ — момент инерции обруча относительно центра масс.

Сила трения $F_{\text{fr}} = \mu mg$ вызывает равноускоренное поступательное движение обруча с замедлением. Линейная скорость $v$ центра масс будет уменьшаться со временем и в какой-то момент станет равной нулю. После этого, если вращение продолжится, сила трения изменит направление, и обруч начнет двигаться в противоположную сторону.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии, учитывая работу силы трения $(F_\text{fr} = \mu mg)$:

$$\frac{mv^2}{2} = \mu mg L$$

Из этого уравнения можно найти коэффициент трения $\mu$:
$$\mu = \frac{v_c^2}{2gL}.$$