Edits to “Решение”, “Ответ: В раз меньше”
ru/2.6.25.md
+24 −2
| ### Условие: | |||
| $2.6.25.$ На поверхности планеты телу сообщили скорость, превышающую вторую космическую скорость на $0.5\%.$ Во сколько раз скорость тела вдали от планеты будет меньше второй космической скорости? | |||
| @@ -4,6 +4,28 @@Условие: | |||
| ### Решение: | |||
| − |  | ||
| + | Общая формула для энергии тела при движении в гравитационном поле планеты: | ||
| − | ### Ответ: В $10$ раз меньше. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | \[ | ||
| + | \frac{v^2}{2} - \frac{\gamma M}{R} = \frac{v_\infty^2}{2}, | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | где \( M \) и \( R \) — масса и радиус Земли, \( v = v_0(1 + 0{,}05) \). При вычислении квадрата скорости мы снова можем воспользоваться формулой Тейлора, положив \( x = 0{,}05 \), \( \alpha = 2 \). | ||
| + | Таким образом, | ||
| + | |||
| + | \[ | ||
| + | \frac{v_0^2}{2}(1 + 0{,}1) - \frac{\gamma M}{R} = \frac{v_\infty^2}{2}. \tag{1} | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | С другой стороны, по определению скорости убегания | ||
| + | |||
| + | \[ | ||
| + | \frac{v_0^2}{2} - \frac{\gamma M}{R} = 0. \tag{2} | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | Вычитая $(2)$ из $(1)$ почленно, получаем после некоторых преобразований окончательный ответ: \( v_\infty = 0{,}1 v_0 \). | ||
| + | |||
| + | #### Ответ: В $10$ раз меньше. | ||
| + | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.6.25.$ На поверхности планеты телу сообщили скорость, превышающую вторую космическую скорость на $0.5\%.$ Во сколько раз скорость тела вдали от планеты будет меньше второй космической скорости? | $2.6.25.$ На поверхности планеты телу сообщили скорость, превышающую вторую космическую скорость на $0.5\%.$ Во сколько раз скорость тела вдали от планеты будет меньше второй космической скорости? | ||
| @@ -4,6 +4,28 @@Условие: | |||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  | Общая формула для энергии тела при движении в гравитационном поле планеты: | ||
| ### Ответ: В $10$ раз меньше. | |||
| \[ | |||
| \frac{v^2}{2} - \frac{\gamma M}{R} = \frac{v_\infty^2}{2}, | |||
| \] | |||
| где \( M \) и \( R \) — масса и радиус Земли, \( v = v_0(1 + 0{,}05) \). При вычислении квадрата скорости мы снова можем воспользоваться формулой Тейлора, положив \( x = 0{,}05 \), \( \alpha = 2 \). | |||
| Таким образом, | |||
| \[ | |||
| \frac{v_0^2}{2}(1 + 0{,}1) - \frac{\gamma M}{R} = \frac{v_\infty^2}{2}. \tag{1} | |||
| \] | |||
| С другой стороны, по определению скорости убегания | |||
| \[ | |||
| \frac{v_0^2}{2} - \frac{\gamma M}{R} = 0. \tag{2} | |||
| \] | |||
| Вычитая $(2)$ из $(1)$ почленно, получаем после некоторых преобразований окончательный ответ: \( v_\infty = 0{,}1 v_0 \). | |||
| #### Ответ: В $10$ раз меньше. | |||