Решение

Для того, чтобы космический аппарат мог покинуть Солнечную систему, на расстоянии от Солнца в один радиус земной орбиты $r$, он должен иметь скорость $V$, равную скорости убегания $v_0$:
$$V = \sqrt{\frac{2 \gamma M_{\odot}}{r}} = \sqrt{2} v_1,$$

где $M_{\odot}$ — масса Солнца, $v_1$ — круговая скорость на расстоянии $r$, примерно равная скорости движения Земли (поскольку орбита нашей планеты, как и орбиты всех остальных планет Солнечной системы, почти не отличается от круга). Поэтому скорость аппарата относительно Земли должна составлять:

$$v' = \sqrt{2} v - v.$$

Скорость запуска, т.е. III космическая скорость, должна быть такой, чтобы на большом удалении от Земли скорость аппарата составляла $v'$, т.е. согласно закону сохранения энергии:

$$\frac{w^2}{2} - \frac{\gamma M_{\oplus}}{R_{\oplus}} = \frac{v'^2}{2} + v_0^2.$$

Отсюда находим:

$$w = \left[ (\sqrt{2} - 1)^2 v^2 + v_0^2 \right]^{1/2},\tag{23}$$

что равно примерно $16{,}7 ~ \text{км/с}$.

Обратим внимание: мы применяли закон сохранения энергии дважды, один раз — к преодолению мощного гравитационного поля Солнца, другой раз — к преодолению гравитационного поля Земли. У некоторых читателей этой книги может возникнуть недоумение: применять этот закон дважды, учитывая как гравитацию Земли, так и Солнца. На деле это не противоречит закону сохранения энергии, так как вклад от гравитации Солнца и Земли на конкретном участке пути учитывается отдельно.

$$\frac{m(v + w)^2}{2} - \frac{\gamma m M_{\oplus}}{R_{\oplus}} - \frac{\gamma m M_0}{r} = 0. \tag{24}$$

Но решив это уравнение мы не получим выражение $(23)$. Какой же ответ неправильен?

Неверен второй ответ, и вот почему. При старте ракеты скорость Земли не может оставаться неизменной (возникает явление отдачи), поэтому в формулу $(24)$ нужно добавить слагаемое, соответствующее изменению кинетической энергии планеты. На первый взгляд, оно пренебрежимо мало, поскольку масса Земли много больше массы ракеты. Подсчитаем, однако, изменение кинетической энергии Земли:

$$\Delta E_{\oplus} = \frac{M_{\oplus}}{2} (u^2 - v^2),$$

где $u$ — скорость Земли после старта ракеты. Найдем $u$ из закона сохранения импульса. Начальный импульс системы «Земля+ракета» в системе отсчета Солнца складывается из слагаемых $M_{\oplus} v$ — импульс Земли и $m(v + w)$ — импульс ракеты в момент старта. Эти импульсы направлены в противоположные стороны. Ракета совершает движение Земли обратно к преодолению нового олицетворяющего минимального расстояния от Солнца. Значение $m V$ определяет, как земной аппарат гравитационно привязан к Солнцу. Импульс есть сумма $m V$ (выполненного конечного аппарата) и $M_{\oplus}$ конечного импульса Земли. По закону сохранения импульса:

$$M_{\oplus} v + m(v + w) = M_{\oplus} u + mV.$$

Отсюда находим изменение скорости Земли

$$u - v = \frac{m}{M_{\oplus}} (v + w - V).$$

Найдём теперь изменение кинетической энергии Земли:

$$\Delta E_{\oplus} = \frac{M_{\oplus}}{2} (v_1 + v^2)(v_1 - v) = M_{\oplus}(u - v) = mv(v + w - V)$$

(в последнем выражении при пренебрежении отличием суммы $u + v$ от $2v$).
Как видно, это изменение имеет тот же порядок величины, что и кинетическая энергия космического аппарата. А если мы не пренебрегаем последней, мы не имеем права пренебрегать величиной $\Delta E_{\oplus}$. С учётом этого слагаемого уравнение сохранения энергии выглядит так:

$$\frac{m(v + w)^2}{2} - \frac{\gamma m M_{\oplus}}{R_{\oplus}} - \frac{\gamma m M_{\odot}}{r} = \Delta E_{\oplus}.$$

После промежуточных выкладок мы получим тот же ответ $(23)$, что и раньше.

В ходе решения этой поучительной задачи мы не только нашли значение третьей космической скорости, но и выяснили, как важно правильно учитывать величины, на первый взгляд кажущиеся пренебрежимо малыми.