Решение

Вычислим ЭДС индукции между центром диска $O$ и скользящим контактом $A$, воспользовавшись определением ЭДС: $${E}_{i} = \frac{A_{ст}}{q}$$

где $A_{ст}$ — работа сторонних сил (в данном случае это сила Лоренца) при перемещении положительного заряда из точки $A$ в точку $O$

Обозначим через $x$ — расстояние от заряда до центра $O$. Сила Лоренца, действующая на заряд:

$$F_{л} = qvB = q \omega xB ( \alpha = 90^{ \circ})$$

Работа силы Лоренца:

$$A_{ст} = \int_{0}^{r} F_{л} dx = \int_{r}^{0} q \omega xB dx$$

$$A = q \omega B \int_{0}^{r} xdx = \frac{1}{2} q \omega r^{2} B$$

может быть вычислена так же элементарно с помощью разбиения отрезка $AO$ на малые участки

$$\Delta x_{i} = x_{i+1} - x_{i}$$

вычисления работы на каждом участке

$$A_{i} = q \omega B \frac{x_{i+1} + x_{i}}{2} (x_{i+1} - x_{i})$$

и суммирования:

$$A_{} = \sum A_{i} = \sum q \omega B \frac{x_{i+1}^{2} - x_{i}^{2}}{2} = \frac{1}{2} q \omega B r^{2}$$

Получаем, подставляя:

$$\varepsilon_{i}= \frac{1}{2} \omega Br^{2}$$

Согласно закону Ома для полной цепи:

$$I = \frac{ \varepsilon_{i}}{R} = \frac{ \omega Br^{2}}{2R}$$