Решение

В 9.2.10 мы получили выражение для магнитной индукции в центре кольца $$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2R}\tag{1}$$ В силу суперпозиции, магнитная индукция в центре одного полукольца составит половину от этого значения: $$B_1 = B_2 = \frac{B_0}{2} = \frac{\mu_0 I}{4R}\tag{2}$$ Из чертежа, видно, что угол между векторами $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$ равен $\alpha$ $$(\vec{B_1},\vec{B_2})=\alpha$$ Суммарный вектор магнитной индукции равен векторной сумме компонент магнитной индукции двух колец $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$ $$\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$$ Модуль этого вектора найдем по теореме косинусов $$B = \sqrt{{B_1}^2 + {B_2}^2 - 2B_1 B_2 \cos\alpha}$$ Учитывая выражение $(2)$, суммарную магнитную индукцию найдём как $$B= \frac{\mu_0 I}{4R}\sqrt{2-2\cos\alpha} = \frac{\mu_0 I}{2R}\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\tag{3}$$ Разделив выражение $(3)$ на $(1)$, получаем искомое отношение $$\boxed{\frac{B}{B_0} = \sin\frac{\alpha}{2}}$$