Edit to “Решение”

astrosander edited Dec 19, 2024, 3:35 PM

View solution History

revision #12235 parent #12234 ← older

ru/8.1.12.md +33 −1

			### Условие:

			$8.1.12^*.$ Между двумя параллельными сетками создано тормозящее электрическое поле напряженности $E$. По нормали к передней сетке падает широкий пучок электронов, у которого плотность заряда $\rho_0$, а скорость $v_0$. Пренебрегая взаимодействием самих электронов, найдите распределение плотности заряда между сетками в случае, если:
			а) скорость электронов настолько велика, что они проходят сквозь сетки и не возвращаются;
			б) электроны отражаются полем. Начиная с каких значений $\rho_0$ во втором случае следует учитывать поле заряда между сетками?
		@@ -6,4 +6,36 @@Условие:

			### Решение:

		−	![\|1147x309, 100%](../../img/8.1.12/01.png)
		+	__Для случая а)__
		+
		+	\[
		+	\rho = \frac{\rho_0 v_0}{\sqrt{v_0^2 - 2eEx / m_e}},
		+	\]
		+
		+	где $ x $ — расстояние до передней сетки.
		+
		+	__Для случая б)__
		+
		+	\[
		+	\rho_2 = 2\rho_1
		+	\]
		+
		+	При $ x < x_0 = m_e v_0^2 / (2eE) $; $\rho = 0$ при $ x > x_0$.
		+
		+	По зависимости $\rho_2$ от $x$ находится наибольшая напряжённость поля заряда между сетками:
		+
		+	\[
		+	E_1 = \frac{1}{2 \varepsilon_0} \int_0^{x_0} \rho_2 \, dx = \frac{\rho_0 m_e v_0^2}{\varepsilon_0 e E}.
		+	\]
		+
		+	Полем заряда пучка можно пренебречь, если $ E_1 \ll E $. Когда $ E_1 $ сравнимо с $ E $, т.е.
		+
		+	\[
		+	\rho_0 m_e v_0^2 / (\varepsilon_0 e E) \approx E,
		+	\]
		+
		+	необходимо его учитывать. Отсюда оценка
		+
		+	\[
		+	\rho \approx \varepsilon_0 e E^2 / (m_e v_0^2).
		+	\]

	### Условие:		### Условие:

	$8.1.12^*.$ Между двумя параллельными сетками создано тормозящее электрическое поле напряженности $E$. По нормали к передней сетке падает широкий пучок электронов, у которого плотность заряда $\rho_0$, а скорость $v_0$. Пренебрегая взаимодействием самих электронов, найдите распределение плотности заряда между сетками в случае, если:		$8.1.12^*.$ Между двумя параллельными сетками создано тормозящее электрическое поле напряженности $E$. По нормали к передней сетке падает широкий пучок электронов, у которого плотность заряда $\rho_0$, а скорость $v_0$. Пренебрегая взаимодействием самих электронов, найдите распределение плотности заряда между сетками в случае, если:
	а) скорость электронов настолько велика, что они проходят сквозь сетки и не возвращаются;		а) скорость электронов настолько велика, что они проходят сквозь сетки и не возвращаются;
	б) электроны отражаются полем. Начиная с каких значений $\rho_0$ во втором случае следует учитывать поле заряда между сетками?		б) электроны отражаются полем. Начиная с каких значений $\rho_0$ во втором случае следует учитывать поле заряда между сетками?
	@@ -6,4 +6,36 @@Условие:

	### Решение:		### Решение:

	![\|1147x309, 100%](../../img/8.1.12/01.png)		__Для случая а)__

			\[
			\rho = \frac{\rho_0 v_0}{\sqrt{v_0^2 - 2eEx / m_e}},
			\]

			где $ x $ — расстояние до передней сетки.

			__Для случая б)__

			\[
			\rho_2 = 2\rho_1
			\]

			При $ x < x_0 = m_e v_0^2 / (2eE) $; $\rho = 0$ при $ x > x_0$.

			По зависимости $\rho_2$ от $x$ находится наибольшая напряжённость поля заряда между сетками:

			\[
			E_1 = \frac{1}{2 \varepsilon_0} \int_0^{x_0} \rho_2 \, dx = \frac{\rho_0 m_e v_0^2}{\varepsilon_0 e E}.
			\]

			Полем заряда пучка можно пренебречь, если $ E_1 \ll E $. Когда $ E_1 $ сравнимо с $ E $, т.е.

			\[
			\rho_0 m_e v_0^2 / (\varepsilon_0 e E) \approx E,
			\]

			необходимо его учитывать. Отсюда оценка

			\[
			\rho \approx \varepsilon_0 e E^2 / (m_e v_0^2).
			\]